Elementare gebrochen-rationale Funktionen

Je mehr, desto weniger

Vier Maler streichen ein Haus in drei Tagen. Wie lange brauchen sechs? Die Tabelle zeigt es: Mit doppelt so vielen Malern (2 → 4) dauert die Arbeit nur halb so viele Tage (6 → 3).

Was sich nie ändert, ist das Produkt: $1\cdot 12=2\cdot 6=3\cdot 4=12$, zwölf Maler-Tage Arbeit. Zwei Größen mit immer gleichem Produkt heißen indirekt proportional. „Je mehr, desto weniger“ genügt dafür nicht: Wer für jeden weiteren Maler einen Tag abzieht, bekommt auch weniger Tage, aber jedes Mal ein anderes Produkt.

Ein naheliegender Denkfehler ist „ein Maler mehr, ein Tag weniger“. Mit 5 statt 4 Malern ergäbe das 2 Tage und das Produkt 10 statt 12. Richtig ist $12:5=2,4$ Tage.

Das Produkt als Rechteck

Zeichnet man Maler und Tage als Rechteck, ist seine Fläche das Produkt: immer 12 Kästchen, mal breit und flach, mal schmal und hoch. Diese feste Zahl heißt a. Aus $x\cdot y=a$ folgt der Term $$y=\frac{a}{x}$$

Aus einem Wertepaar findet man a, indem man die Werte multipliziert: 4 Maler und 3 Tage ergeben $a=4\cdot 3=12$. Für 6 Maler gilt dann $y=12:6=2$ Tage. Der Term gilt auch für Werte, die in der Tabelle fehlen, zum Beispiel für 5 Maler.

Die zwei Äste

Wir tragen Wertepaare von $y=\frac{6}{x}$ ein: (1 | 6), (2 | 3), (3 | 2), (6 | 1), aber auch (0,5 | 12) und die negativen Paare (−2 | −3) und (−6 | −1). Verbindet man alle Punkte glatt, entsteht die Hyperbel, der Graph von $y=a/x$. Sie besteht aus zwei getrennten Ästen: Zu $x=0$ gibt es keinen Punkt, also darf man die Äste nicht über die y-Achse hinweg verbinden.

Jeder Punkt P spannt mit den Achsen ein Rechteck auf. Seine Fläche ist immer 6 – das Produkt aus dem vorigen Abschnitt. Bei x = 1 ist das Rechteck 1 breit und 6 hoch, bei x = 6 ist es 6 breit und 1 hoch: dieselbe Fläche in anderer Form.

Vorzeichen und Symmetrie

Ist a positiv, haben x und y dasselbe Vorzeichen, und die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Bei negativem a liegen sie im II. und IV. Quadranten, denn dort ist das Produkt negativ. Ein größerer Betrag von a schiebt beide Äste weiter vom Ursprung weg.

Die Hyperbel ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Mit $(x\mid y)$ liegt auch $(-x\mid -y)$ auf ihr, denn $(-x)\cdot (-y)=x\cdot y$. Man muss also nur einen Ast berechnen und spiegelt ihn am Ursprung.

Die verbotene Null

Für $y=\frac{6}{x}$ darf man jede Zahl außer 0 einsetzen. Die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$. Was geschieht nahe der Null? Für $x=1;0,1;0,01;0,001$ ergibt sich $y=6;60;600;6000$: Je näher x an 0 rückt, desto größer wird y, ohne Grenze. Für x = 0,000001 wäre y schon sechs Millionen.

Der Graph schmiegt sich an die y-Achse an, berührt sie aber nie. Eine solche Gerade heißt Asymptote; hier ist es die senkrechte Asymptote $x=0$.

Nähern, ohne zu erreichen

Wächst x, wird y kleiner: Für $x=10;100;1000$ ist $y=0,6;0,06;0,006$. Der Wert 0 wird aber nie erreicht, denn ein Bruch mit dem Zähler 6 ist nie 0. Die x-Achse ist die waagrechte Asymptote $y=0$; der Wert y = 0 kommt nicht vor. Merke den Unterschied: Bei der senkrechten Asymptote fehlt ein x-Wert, bei der waagrechten ein y-Wert.

Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten beliebig nahe und schneidet sie nie. Beide zusammen bilden ein Kreuz, in dessen Ecken die zwei Äste hineinlaufen; verschiebt man den Graphen, wandert das Kreuz mit.

Verschieben mit b

Die Hyperbel $y=\frac{2}{x}$ lässt sich verschieben. Ersetzt man x durch $x-b$, entsteht $$y=\frac{2}{x-b}$$ Der Nenner ist 0 für $x=b$: Dort liegt jetzt die senkrechte Asymptote, und es ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{b\}$. Der Graph wandert um b nach rechts (bei negativem b nach links). Beispiel: Bei $y=\frac{2}{x-3}$ wandern die Punkte (1 | 2) und (2 | 1) von $y=\frac{2}{x}$ nach (4 | 2) und (5 | 1).

Vorsicht bei $\frac{2}{x+3}$: Das ist $x-(-3)$, also b = −3. Der Graph liegt links, nicht rechts.

Verschieben mit c

Addiert man eine Zahl c, wird jeder y-Wert um c größer: $$y=\frac{2}{x}+c$$ Der ganze Graph wandert um c nach oben (bei negativem c nach unten), und die waagrechte Asymptote liegt jetzt bei $y=c$. Die Definitionsmenge bleibt $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$, denn c berührt den Nenner nicht. Die Punkte (1 | 2) und (2 | 1) von $y=\frac{2}{x}$ wandern bei $c=3$ nach (1 | 5) und (2 | 4).

Beide zusammen

Beides zusammen ergibt $$y=\frac{a}{x-b}+c$$ Die Asymptoten $x=b$ und $y=c$ bilden ein Kreuz mit dem Mittelpunkt $M(b\mid c)$, und man liest ohne Rechnung ab: $D=\mathbb{Q}\setminus \{b\}$. Beispiel: $y=\frac{2}{x-1}-1$ hat $D=\mathbb{Q}\setminus \{1\}$ und die Asymptoten $x=1$ und $y=-1$. Merke: b verschiebt nach rechts, c nach oben, und bei b steht das Minus schon in der Formel.

Der y-Achsenabschnitt

Auf der y-Achse ist $x=0$. Setzt man 0 ein, erhält man den Schnittpunkt: $$f(0)=\frac{a}{0-b}+c=-\frac{a}{b}+c$$ Für $f(x)=\frac{2}{x-1}-1$ ist $f(0)=\frac{2}{-1}-1=-3$, der Schnittpunkt ist S(0 | −3). Das geht nur, wenn 0 zur Definitionsmenge gehört, also für $b\ne 0$. Bei $b=0$ liegt die senkrechte Asymptote auf der y-Achse: Es gibt keinen Schnittpunkt. Kontrolle: Für $b=-1$, also $x+1$ im Nenner, ist $f(0)=2-1=1$. Das Vorzeichen im Nenner ist die häufigste Fehlerquelle.

Die Nullstelle

Die Nullstelle löst $f(x)=0$. Für $\frac{2}{x-1}-1=0$ addiert man 1: $\frac{2}{x-1}=1$. Also ist $x-1=2$ und $x=3$, der Schnittpunkt ist N(3 | 0). Allgemein gilt $$x_0=b-\frac{a}{c}$$ Für $c=0$ liegt die waagrechte Asymptote auf der x-Achse: Es gibt keine Nullstelle. Die Hyperbel schneidet ihre Asymptoten nie, aber die Koordinatenachsen sehr wohl, wenn diese keine Asymptoten sind. Probe: $f(3)=\frac{2}{2}-1=0$. Und x = 1 ist keine Nullstelle, dort ist f gar nicht definiert.

So zeichnet man $y=\frac{2}{x-1}-1$ in drei Schritten. Man muss dazu nicht jeden Punkt einzeln ausrechnen: Das Kreuz und wenige sichere Punkte genügen.

1. Kreuz. Man zeichnet die Asymptoten $x=1$ und $y=-1$ gestrichelt ein. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M(1 | −1).

2. Punkte. Für $x-1=\pm 1$ und $\pm 2$ rechnet man $y$ aus: $x=2\Rightarrow y=1$, $x=3\Rightarrow y=0$, $x=0\Rightarrow y=-3$ und $x=-1\Rightarrow y=-2$. Vom Mittelpunkt aus gilt immer $(x-b)(y-c)=a$, hier $=2$. Sichere Punkte sind die, bei denen man im Kopf rechnen kann; die Nullstelle und der y-Achsenabschnitt gehören dazu.

3. Äste. Durch die Punkte zeichnet man zwei Kurven, die sich dem Kreuz anschmiegen, ohne es zu schneiden. Ist $a>0$, liegen die Äste rechts oben und links unten von M, ist $a<0$, liegen sie links oben und rechts unten. Zur Kontrolle: Eine Kurve, die das Kreuz schneidet, ist falsch, ebenso ein Ast, der eine Asymptote berührt.

b und c ablesen

Umgekehrt liest man die Parameter aus dem Graphen ab. Die Asymptoten verraten b und c: Die senkrechte Asymptote liegt bei $x=b$, die waagrechte bei $y=c$. Liegen sie bei $x=-2$ und $y=1$, ist $b=-2$ und $c=1$, und im Nenner steht $x-(-2)=x+2$. Am Vorzeichen von a erkennt man die Lage der Äste: links oben und rechts unten heißt $a<0$. Beispiel: Liegt das Kreuz bei $x=1$ und $y=-3$, steht $x-1$ im Nenner und $-3$ hinter dem Bruch.

a aus einem Punkt

Ist das Kreuz bekannt, fehlt nur noch a. Man liest einen Punkt $P(x\mid y)$ ab und rechnet $$a=(x-b)\cdot (y-c)$$ Beispiel: $M(-2\mid 1)$ und $P(-1\mid -2)$ ergeben $a=(-1+2)(-2-1)=-3$. Jeder andere Punkt liefert dasselbe Produkt, das ist die Probe. Die Gleichung lautet $y=\frac{-3}{x+2}+1$. Am besten liest man einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten ab; ein zweiter Punkt dient der Probe.

Konstantes Produkt

Indirekt proportionale Größen findet man überall, wo ein Produkt konstant bleibt. Liegt an einem Gerät eine feste Spannung von $U=6\text{V}$, gilt für Widerstand R und Stromstärke I: $I=\frac{6}{R}$. Doppelter Widerstand, halbe Stromstärke. Die Zahl a = 6 hat eine Bedeutung und eine Einheit: Das Produkt $R\cdot I$ ist die Spannung in Volt. Zur Kontrolle setzt man ein Paar ein: $R=3\Omega$ gehört zu $I=2\text{A}$, denn $3\cdot 2=6$.

Ebenso gilt bei fester Strecke $s=240\text{km}$ für die Fahrzeit $t=\frac{240}{v}$, und bei einem Gas mit gleichbleibender Temperatur bleibt $p\cdot V$ gleich.

Grenzen des Modells

Ein Modell gilt nur im sinnvollen Bereich. Für $t=\frac{240}{v}$ ist $v=0$ ausgeschlossen, und bei 2000 km/h sagt die Formel eine Zeit voraus, die für ein Auto Unsinn ist. Sinnvoll sind etwa 30 bis 130 km/h. Auch die Einheiten müssen zusammenpassen: v in km/h und t in h.

Vor dem Rechnen prüft man, ob das Produkt wirklich konstant ist. Wächst bei gleichbleibendem Tempo die Strecke mit der Zeit, sind beide Größen direkt proportional, nicht indirekt. Und im Sachzusammenhang ist oft nur ein Ast der Hyperbel gefragt (x > 0). Solche Modelle sind wichtig, weil sie mit einer festen Regel beschreiben, wie eine Größe sinkt, wenn die andere wächst.