Der Einheitskreis — Sinus und Kosinus für alle Winkel

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Jeder Punkt $(x\mid y)$ auf diesem Kreis hat vom Ursprung den Abstand 1. Dieser Abstand ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $x$ und $y$ — nach dem Satz des Pythagoras heißt das:

$$x^2+y^2=1$$

Umgekehrt liegt jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, auf dem Kreis. $(0,6\mid 0,8)$ liegt darauf, denn $0,36+0,64=1$.

Ein Punkt P bewegt sich auf diesem Kreis. Seine Position wird durch den Winkel α bestimmt, den die Strecke $OP$ vom Ursprung O zum Punkt P mit der positiven x-Achse einschließt. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen — also in mathematisch positiver Richtung.

Ganz oben liegt P bei 90°, auf $(0\mid 1)$; für jeden anderen Winkel zeigen die Anzeigen x und y seine Koordinaten.

Im rechtwinkligen Dreieck war Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse und Kosinus Ankathete durch Hypotenuse. Die Figur zeichnet so ein Dreieck in den Einheitskreis: Die Hypotenuse ist die Strecke $OP$ mit der Länge 1, die Ankathete liegt auf der x-Achse, die Gegenkathete führt senkrecht hinauf zu P.

Mit der Hypotenuse 1 fällt das Teilen weg: $\sin \alpha =\text{Gegenkathete}:1=\text{Gegenkathete}$, und die Gegenkathete ist genau so lang, wie P hoch liegt. Genauso ist cos α die waagerechte Kathete, so lang, wie P rechts vom Ursprung liegt.

Bei 120° gibt es das Dreieck noch, aber es passt nicht mehr: Sein Winkel bei O ist 60°, nicht 120°, und seine waagerechte Kathete zeigt nach links. Eine Seitenlänge ist nie negativ — die x-Koordinate von P, $-0,5$, schon. Die Koordinaten von P gibt es für jeden Winkel. Deshalb erweitert man die Definition:

• cos α ist die x-Koordinate von P.
• sin α ist die y-Koordinate von P.

Zwischen 0° und 90° liefert das genau die Werte vom Dreieck; darüber hinaus ist es die neue Definition, also $\cos 120°=-0,5$. In der Figur ist die blaue Kathete cos α, die rote sin α: P liegt bei $(\cos \alpha \mid \sin \alpha )$.

Verlängert man die Gerade vom Ursprung durch $P$ bis zur senkrechten Tangente an den Einheitskreis bei $x=1$, so entsteht ein zweites, ähnliches rechtwinkliges Dreieck mit Kathete $1$ auf der x-Achse. Seine andere Kathete hat die Länge tan α: Gegenkathete durch Ankathete, bei 1 als Ankathete wieder ohne Teilen.

Bei 120° lag P links der y-Achse: $\cos 120°=-0,5$, aber $\sin 120°\approx +0,87$. Die beiden Achsen teilen den Einheitskreis in vier Viertel, die Quadranten, nummeriert gegen den Uhrzeigersinn: I rechts oben, II links oben, III links unten, IV rechts unten.

Weil $\cos \alpha$ die x-Koordinate und $\sin \alpha$ die y-Koordinate ist, entscheidet allein die Lage von P: Rechts der y-Achse ist $\cos \alpha$ positiv, oberhalb der x-Achse $\sin \alpha$. Was du an den Anzeigen abgelesen hast, steht in dieser Tabelle:

Die Eselsbrücke: Im I. Quadranten ist alles positiv. Dann wandert man gegen den Uhrzeigersinn — zuerst wird $\cos$ negativ (II.), dann auch $\sin$ (III.), und schließlich wird $\cos$ wieder positiv (IV.).

Die Vorzeichen in jedem Quadranten stehen jetzt fest, die Zahlen nur auf zwei Nachkommastellen, so wie die Anzeigen sie zeigen. Für die Winkel $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ und $90°$ lassen sich $\cos \alpha$ und $\sin \alpha$ exakt angeben. Sie stammen aus zwei besonderen Dreiecken mit Hypotenuse 1, und du solltest sie auswendig kennen.

Die beiden Dreiecke haben die Hypotenuse $1$ — den Radius des Einheitskreises —, also sind ihre Katheten direkt cos α (waagerecht) und sin α (senkrecht). Das halbe gleichseitige Dreieck: Das ganze gleichseitige Dreieck hat drei Seiten der Länge 1 und drei Winkel von 60°; halbiert man es, ist die kurze Kathete die halbe Seite, $\frac{1}{2}$, und nach Pythagoras die lange $\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$ (die Quadratwurzel eines Bruchs zieht man aus Zähler und Nenner einzeln). Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck (die halbe Fläche eines Quadrats mit der Diagonale 1) hat zwei gleiche Katheten $x$ mit $x^2+x^2=1$, also $x^2=\frac{1}{2}$ und $x=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$.

Übersicht der besonderen Werte

Eselsbrücke: Die Sinuswerte von $0°$ bis $90°$ folgen dem Muster $\frac{\sqrt{n}}{2}$ für $n=0,1,2,3,4$. Die Kosinuswerte laufen genau in umgekehrter Reihenfolge.

Warum läuft Kosinus rückwärts? — $\cos \alpha =\sin (90°-\alpha )$

Vergleiche in der Tabelle die Spalten für $\cos$ und $\sin$: Die Kosinuswerte sind die Sinuswerte von unten nach oben gelesen — also die Sinuswerte zum Komplementärwinkel $90°-\alpha$. Das ist dieselbe Regel wie im rechtwinkligen Dreieck: Die Ankathete von α ist die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels $90°-\alpha$. $$\cos \alpha =\sin (90°-\alpha )$$

Die senkrechte Kathete bei $P^{\prime }$ ist so lang wie die waagerechte bei $P$, nur gedreht. Deshalb sind $\sin 30°$ und $\cos 60°$ gleich groß, und die ganze Kosinusspalte ist die umgekehrte Sinusspalte.

Die Quadranten liefern für 120° nur das Vorzeichen, die Tabelle die exakten Werte nur bis 90°. Die Brücke dazwischen ist die Symmetrie des Einheitskreises: Man spiegelt P so, dass der Spiegelpunkt im I. Quadranten landet. Der Spiegelpunkt liegt wieder auf dem Einheitskreis, also gehört zu ihm ein eigener Winkel, und seine Koordinaten sind direkt $\cos$ und $\sin$ dieses neuen Winkels.

Spiegelung an der y-Achse — $180°-\alpha$

Spiegelt man den Punkt an der y-Achse, bleibt die y-Koordinate gleich, die x-Koordinate kehrt das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist $180°-\alpha$:

• $\cos (180°-\alpha )=-\cos \alpha$
• $\sin (180°-\alpha )=\sin \alpha$

Punktspiegelung am Ursprung — $180°+\alpha$

Spiegelt man den Punkt am Ursprung, kehren beide Koordinaten das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist $180°+\alpha$:

• $\cos (180°+\alpha )=-\cos \alpha$
• $\sin (180°+\alpha )=-\sin \alpha$

Spiegelung an der x-Achse — $360°-\alpha$

Spiegelt man den Punkt an der x-Achse, bleibt die x-Koordinate gleich, die y-Koordinate kehrt das Vorzeichen um. Der zugehörige Winkel ist $360°-\alpha$: eine volle Umdrehung, aber um $\alpha$ zu kurz — P' liegt genau so weit unter der x-Achse wie P darüber.

• $\cos (360°-\alpha )=\cos \alpha$
• $\sin (360°-\alpha )=-\sin \alpha$

Der Taschenrechner kennt nur einen Winkel

Rückwärts — vom Sinuswert zum Winkel — hilft die Spiegelung an der y-Achse. Die Taste ${\sin }^{-1}$ gibt immer nur einen Winkel aus, und zwar einen zwischen $-90°$ und $90°$: ${\sin }^{-1}(0,5)=30°$. Derselbe Sinus gehört aber auch zu $180°-30°=150°$ — dem Punkt gleicher Höhe auf der anderen Seite der y-Achse. Den zweiten Winkel rechnest du selbst aus.

Negative Winkel — Spiegelung an der x-Achse

Alle Winkel bisher lagen zwischen 0° und 360°, gedreht gegen den Uhrzeigersinn. Zum Spiegelpunkt an der x-Achse, beim Winkel $360°-\alpha$, braucht man so fast eine volle Umdrehung. Kürzer geht es andersherum: im Uhrzeigersinn um α. Drehungen im Uhrzeigersinn zählen als negative Winkel. Der Punkt zu $-\alpha$ ist also der an der x-Achse gespiegelte Punkt: Die x-Koordinate bleibt gleich, die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen.

• $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
• $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

Periodizität — alle $360°$ kehrt alles wieder

Die Winkel $-\alpha$ und $360°-\alpha$ treffen denselben Punkt, weil sie sich um eine volle Umdrehung unterscheiden. Nach einer vollen Umdrehung $(360°)$ ist man immer wieder am selben Punkt. Die Koordinaten von P wiederholen sich — und damit auch die Werte von $\cos$ und $\sin$:

$$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +360°)& =\cos \alpha \\ \sin (\alpha +360°)& =\sin \alpha \end{array}$$

Winkel, die sich um ganzzahlige Vielfache von $360°$ unterscheiden, liefern also dieselben Kosinus- und Sinuswerte. Solche Winkel heißen koterminal: $30°$ und $30°+360°=390°$ zeigen auf denselben Punkt.

Spiegeln und negative Winkel kippen die Vorzeichen von cos α und sin α. Im rechtwinkligen Dreieck hast du ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ aus dem Satz des Pythagoras bekommen — für spitze Winkel, mit lauter positiven Seiten. Gilt die Gleichung auch mit negativen Koordinaten? Am Einheitskreis ist die Strecke $OP$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Hypotenuse hat die Länge $1$ (der Radius). Die Katheten sind $\cos \alpha$ und $\sin \alpha$.

Der Satz des Pythagoras liefert:

$${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$$

Schreibweise: Wie im Dreieck ist ${\cos }^2\alpha$ die Kurzform für $(\cos \alpha {)}^2$ — also „der Kosinus von α, quadriert“. Genauso ${\sin }^2\alpha =(\sin \alpha {)}^2$. Die hochgestellte $2$ gehört zum Wert, nicht zum Winkel.

Bei 120° ist $\cos 120°=-0,5$, die waagerechte Kathete ist aber 0,5 lang — eine Länge ist nie negativ. Im Quadrat macht das keinen Unterschied: $(-0,5{)}^2=0,25=0,5^2$. Mit $\sin 120°\approx 0,866$ ergibt sich $0,25+0,75=1$, und die Anzeige bleibt bei 1, wohin du α auch ziehst. Diese Gleichung heißt trigonometrischer Pythagoras und gilt für alle Winkel $\alpha$ — nicht nur für spitze Winkel.

Den Tangens liefert diese Gleichung nicht — er kommt wieder aus dem Dreieck: Gegenkathete durch Ankathete ist $y$ durch $x$. Am Einheitskreis gilt deshalb für jeden Winkel

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0)$$

Das ist die Länge des Abschnitts auf der Tangente bei $x=1$, denn die beiden Dreiecke sind ähnlich. Bei 90° und 270° ist $\cos \alpha =0$; die Gerade $OP$ läuft dann parallel zur Tangente, und einen Tangens gibt es dort nicht.

Für $\sin 210°$ braucht man alle Werkzeuge zusammen, in einer festen Reihenfolge — ein Verfahren, das für jeden Winkel funktioniert. Auswendig können musst du dafür nur die fünf Sonderwerte.

1. Quadranten bestimmen. Wo landet der Punkt $P$, wenn du von der positiven x-Achse aus drehst?
2. Vorzeichen ablesen. cos α ist die x-Koordinate, sin α die y-Koordinate — das Vorzeichen steht damit schon fest, bevor du eine Zahl kennst.
3. Auf den Referenzwinkel reduzieren. Das ist der spitze Winkel zwischen $OP$ und der x-Achse — nie der zur y-Achse: Bei 210° sind es 30°, nicht 60°. In der Figur unten steht er im Chip ${\alpha }_{\text{ref}}$.
4. Sonderwert einsetzen. Exakt geht das, wenn der Referenzwinkel $30°$, $45°$ oder $60°$ ist; sonst liefert der Taschenrechner den Wert.
5. Probe. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ muss aufgehen.

Durchlauf: $\alpha =210°$. $210°$ liegt zwischen $180°$ und $270°$ — III. Quadrant. Dort sind x-Koordinate und y-Koordinate beide negativ, also sind $\cos 210°$ und $\sin 210°$ negativ. Der Referenzwinkel ist $210°-180°=30°$. Mit $\sin 30°=\frac{1}{2}$ und $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin 210°=-\frac{1}{2}=-0,5$$ $$\cos 210°=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,866$$ Probe: $0,25+0,75=1✓$

Die Zahl $-0,5$ hat jetzt einen Ort: Sie ist die y-Koordinate von P bei 210°, einen halben Radius unter der x-Achse. Das Verfahren rechnet in Grad und liest Sinus und Kosinus als Koordinaten eines Punkts. Später misst man Winkel im Bogenmaß und zeichnet sin α und cos α als Graphen über α.