Punkte und Vektoren im Raum

Die drei Achsen

Um die Drohne zu finden, legen wir drei zueinander senkrechte Zahlengeraden durch einen gemeinsamen Punkt, den Ursprung O: Die x₁-Achse zeigt auf dich zu, die x₂-Achse nach rechts, die x₃-Achse nach oben. Ein Punkt hat dann drei Koordinaten, immer in dieser Reihenfolge:

$$P(x_1\mid x_2\mid x_3)$$

Bei $P(3\mid 4\mid 2)$ ist $x_1=3$, $x_2=4$ und $x_3=2$. Die Höhe über dem Boden, der x₁x₂-Ebene, ist die dritte Koordinate. Koordinaten dürfen auch negativ sein: Ein negatives x₃ liegt unter dem Boden, ein negatives x₂ links von O und ein negatives x₁ von dir weg. Gestrichelte Hilfslinien zeigen den Quader von O bis P.

Vom Ursprung zum Punkt

Einen Punkt zeichnest du in drei Schritten von O aus ein: erst x₁ Einheiten entlang der x₁-Achse, dann x₂ Einheiten parallel zur x₂-Achse, zuletzt x₃ Einheiten parallel zur x₃-Achse. Bei $P(3\mid 4\mid 2)$ sind das 3, 4 und 2 Einheiten. Die Reihenfolge der Schritte ist beliebig, jeder Weg endet im selben Punkt. Steigt ein Punkt senkrecht nach oben, ändert sich nur x₃: Drei Einheiten höher wird aus $(3\mid 4\mid 2)$ der Punkt $(3\mid 4\mid 5)$. Zum Ablesen gehst du den Weg rückwärts: vom Punkt senkrecht hinunter zur x₁x₂-Ebene und dann parallel zu den Achsen zurück.

Das Schrägbild

Das Papier ist flach, der Raum nicht. Darum zeichnet man x₂ und x₃ in wahrer Länge, die x₁-Achse aber schräg unter 45° und auf $\frac{1}{2}\sqrt{2}\approx 0,71$ verkürzt: Pro Einheit rückt der Bildpunkt eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach unten. Eine gezeichnete Länge ist deshalb keine Koordinate: Gezeichnet gilt „wahre Länge mal 0,71“, eine x₁-Kante von 6 Einheiten erscheint nur etwa 4,2 lang. Und ein Bildpunkt genügt nicht: $(0\mid 1\mid 1)$, $(2\mid 2\mid 2)$ und $(4\mid 3\mid 3)$ haben dasselbe Bild. Erst die Hilfslinien machen den Punkt eindeutig.

Die drei Achsen spannen drei Koordinatenebenen auf: die x₁x₂-Ebene (den Boden), die x₁x₃-Ebene und die x₂x₃-Ebene. Ein Punkt in einer Ebene hat eine Koordinate 0, und zwar die der Achse, die fehlt: In der x₁x₂-Ebene gilt $x_3=0$, in der x₁x₃-Ebene $x_2=0$, in der x₂x₃-Ebene $x_1=0$. Also liegt $A(3\mid 0\mid 5)$ in der x₁x₃-Ebene. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene ist der Betrag der Koordinate der fehlenden Achse: $A$ hat von der x₁x₂-Ebene den Abstand 5.

Auf einer Koordinatenachse sind sogar zwei Koordinaten 0: $(0\mid 4\mid 0)$ liegt auf der x₂-Achse. Merke: Ebene – eine Null, Achse – zwei Nullen.

Im Schrägbild sieht man oft nicht sicher, ob ein Punkt in einer Ebene liegt; in den Koordinaten sieht man es sofort. Deshalb begründest du eine besondere Lage immer mit den Koordinaten: Ein Punkt mit $x_2=0$ liegt in der x₁x₃-Ebene, egal wie das Bild aussieht.

Auch Körper stellst du über ihre Ecken dar. Ein Quader mit Kanten parallel zu den Achsen, der Ecke O und der Gegenecke $G(2\mid 4\mid 3)$, hat acht Ecken: In jeder Koordinate steht entweder 0 oder der Wert von G, also $2\cdot 2\cdot 2=8$ Möglichkeiten. Vier davon haben $x_1=0$ und liegen in der x₂x₃-Ebene. Aus den Koordinaten liest du die Lage ab, ohne auf das Bild zu vertrauen.

Spiegelt man einen Punkt P an einer Koordinatenebene, liegt der Spiegelpunkt P′ auf der anderen Seite, genauso weit entfernt. Dabei wechselt nur die Koordinate das Vorzeichen, die den Abstand zur Ebene misst – die der fehlenden Achse. An der x₁x₂-Ebene wird aus $P(2\mid 3\mid 4)$ der Punkt $P^{\prime }(2\mid 3\mid -4)$.

An einer Koordinatenachse bleibt die Koordinate der Achse, die beiden anderen wechseln das Vorzeichen: An der x₁-Achse wird $P(2\mid 3\mid 4)$ zu $P^{\prime }(2\mid -3\mid -4)$. Am Ursprung wechseln alle drei: $P^{\prime }(-2\mid -3\mid -4)$; O liegt genau in der Mitte von PP′.

Warum diese Regel? Die Koordinate x₃ ist der Abstand zur x₁x₂-Ebene mit Vorzeichen: Vier Einheiten über dem Boden werden zu vier Einheiten darunter. An einer Achse dreht sich alles um, was nicht auf der Achse liegt, am Ursprung alles.

Umgekehrt begründest du damit Symmetrie: Gehören zwei Ecken eines Körpers wie $(2\mid 3\mid 4)$ und $(-2\mid 3\mid 4)$ zusammen, liegt er symmetrisch zur x₂x₃-Ebene – nur x₁ wechselt.

Die Drohne fliegt weiter: 1 nach vorn, 2 nach rechts, 2 nach oben. Diese Bewegung heißt Verschiebung, und sie hängt nicht davon ab, wo die Drohne startet. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung. Als Pfeil gezeichnet, steht er für alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile, die Pfeilklasse; wo der Pfeil beginnt, ist gleichgültig. Gleiche Länge allein macht noch keinen gleichen Vektor.

Ein Vektor ist also kein fester Ort. Zwei Pfeile an verschiedenen Stellen stellen denselben Vektor dar, wenn sie gleich lang und gleich gerichtet sind, und ein Pfeil, der im Ursprung beginnt, ist nur einer von unendlich vielen.

Im Raum gibt man einen Vektor durch drei Zahlen an, den Spaltenvektor:

$$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$$

Er verschiebt um v₁ in x₁-, um v₂ in x₂- und um v₃ in x₃-Richtung. Negative Zahlen gehen gegen die Achsenrichtung. In Aufgabentexten schreiben wir den Spaltenvektor in einer Zeile mit Semikolon, etwa $(2;-1;3)$.

Der Pfeil vom Ursprung O zu einem Punkt P heißt Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$. Seine Zahlen sind die Koordinaten von P: $\overrightarrow{OP}=(3;4;2)$ für $P(3\mid 4\mid 2)$. Der Punkt P ist ein Ort, der Vektor eine Verschiebung – deshalb die verschiedene Schreibweise.

Die Drohne fliegt vom Punkt A zum Punkt B. Welche Verschiebung ist das? Der Vektor, der A nach B verschiebt, heißt Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$. Man rechnet „Spitze minus Fuß“, Komponente für Komponente:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$$

Für $A(1\mid 1\mid 0)$ und $B(4\mid 3\mid 2)$ ist $\overrightarrow{AB}=(3;2;2)$. Es ist die Verschiebung, nicht die Lage von B: Die Zahlen von B allein wären der Ortsvektor.

Umgekehrt findest du den Zielpunkt aus $B=A+\overrightarrow{AB}$, den Anfangspunkt aus $A=B-\overrightarrow{AB}$. Und die Reihenfolge zählt: Der Rückweg $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ hat gleiche Länge, aber alle Vorzeichen umgekehrt.

Die Drohne startet in $A(1\mid 1\mid 0)$ und landet in $B(4\mid 3\mid 2)$: Sie ist 3 nach vorn, 2 nach rechts und 2 nach oben geflogen. Das sind genau die Zahlen von AB. Der Vektor bündelt die Flugbewegung in drei Zahlen, und dieselben Zahlen gelten für jeden anderen Start.

Zur Kontrolle rechnest du rückwärts: $A+\overrightarrow{AB}$ muss B ergeben. Fällt dir die Reihenfolge nicht ein, frag dich: Wohin will ich? Das Ziel steht vorn.

Zwei Verschiebungen hintereinander sind wieder eine Verschiebung. Für die Summe $\vec{a}+\vec{b}$ hängst du den Pfeil b an die Spitze von a; die Summe führt vom Anfang von a zur Spitze von b. Gerechnet wird komponentenweise:

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 7\end{array}\right)$$

Ob du erst a und dann b fliegst oder erst b und dann a: Du landest im selben Punkt, die beiden Wege bilden ein Parallelogramm. Also gilt $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, und auch beim Klammern ist es egal.

Ein Beispiel: Fliegt die Drohne erst um $(1;0;2)$ und dann um $(0;3;-1)$, ist die Gesamtverschiebung $(1;3;1)$. Die Zwischenstation ist gleichgültig, nur Anfang und Ende zählen.

Die Differenz ist $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$: erst gegen b fliegen, dann a. Wenn a und b im selben Punkt beginnen, führt a − b von der Spitze von b zur Spitze von a. Komponentenweise: $(5;2;4)-(1;3;-2)=(4;-1;6)$. Anders als die Summe ist die Differenz nicht vertauschbar: $\vec{b}-\vec{a}=-(\vec{a}-\vec{b})$, alle Vorzeichen kehren sich um. Und $\vec{a}+(-\vec{a})$ ist der Nullvektor $(0;0;0)$: Hin und zurück ergibt keine Verschiebung.

Fliegt die Drohne zweimal dieselbe Verschiebung, verdoppelt sich der Pfeil. Allgemein multipliziert das Vielfache $s\cdot \vec{v}$ jede der drei Komponenten mit derselben Zahl s:

$$3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 12\end{array}\right)$$

Bei $|s|>1$ wird der Pfeil länger, bei $|s|<1$ kürzer. Ein negatives s kehrt die Richtung um; es macht den Pfeil nicht kürzer. Mit $s=-1$ entsteht der Gegenvektor, mit $s=0$ der Nullvektor.

Die Zahl s heißt auch Skalar, daher der Name „skalares Vielfaches“: Sie ist eine gewöhnliche Zahl, kein Vektor.

Zwei Vektoren heißen parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{b}=s\cdot \vec{a}$. Prüfe alle drei Komponenten mit derselben Zahl s! Zu $(1;2;3)$ passt $(2;4;6)$ mit $s=2$, aber $(2;4;5)$ nicht: Zwei Komponenten stimmen, die dritte nicht.

Anschaulich: Parallele Pfeile zeigen entlang derselben Richtung, ein Vielfaches ändert nur Länge und Orientierung. Später beschreibt so ein Richtungsvektor eine ganze Gerade: Alle seine Vielfachen liegen entlang ihr.

Vielfache und Summen lassen sich mischen: Die Linearkombination $2\vec{a}-3\vec{b}$ entsteht, indem du erst die Vielfachen bildest und dann komponentenweise verrechnest. Für $\vec{a}=(1;0;2)$ und $\vec{b}=(2;1;0)$ ergibt sich $(2;0;4)-(6;3;0)=(-4;-3;4)$.

Die Länge eines Vektors

Wie weit reicht der Flug $\vec{v}=(1;2;2)$? Seine Länge oder sein Betrag $|\vec{v}|$ entsteht aus zweimal Pythagoras: erst die Diagonale e der Grundfläche, $e^2=v_1^2+v_2^2$, dann mit der Höhe v₃ die Raumdiagonale:

$$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$

Für $(1;2;2)$ ist das $\sqrt{1+4+4}=3$. Alle drei Quadrate stehen unter der Wurzel, und die Wurzel darf nicht fehlen. Die Länge ist nie negativ und hängt nicht davon ab, wo der Pfeil beginnt. Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor; du erhältst ihn, indem du jede Komponente durch die Länge teilst: $\frac{1}{3}(1;2;2)=(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ zeigt wie v, ist aber 1 lang.

Abstand und Summe

Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors: $d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|$. Erst subtrahieren (Zielpunkt minus Startpunkt), dann den Betrag bilden. Für $A(1\mid 1\mid 0)$ und $B(2\mid 3\mid 2)$ ist $\overrightarrow{AB}=(1;2;2)$ und $d=3$. Die Koordinaten von A und B einzeln zu quadrieren ist falsch – quadriert werden die Differenzen.

Vorsicht bei Summen: Der Betrag einer Summe ist meist kleiner als die Summe der Beträge. Für $\vec{a}=(3;0;0)$ und $\vec{b}=(0;4;0)$ ist $|\vec{a}+\vec{b}|=|(3;4;0)|=5$, aber $|\vec{a}|+|\vec{b}|=7$. Nur bei Vielfachen gilt $|s\cdot \vec{a}|=|s|\cdot |\vec{a}|$.

Zum Vergleich: Wer die Raumdiagonale einer Kiste mit den zwei Pythagoras-Schritten der Mittelstufe berechnet, rechnet dasselbe wie mit dem Betrag. Die Vektorschreibweise fasst beide Schritte in einer Wurzel zusammen.