Quadratwurzeln und reelle Zahlen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt A. Wie lang ist seine Seite s? Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert A ergibt. Sie heißt Quadratwurzel von A:

$$s=\sqrt{A}\text{weil}s\cdot s=A$$

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Bei A = 49 m² ist $\sqrt{49}=7$, denn 7 · 7 = 49. Die Hälfte, 24,5 m, wäre falsch: Ein Quadrat mit dieser Seite hätte über 600 m².

Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf. Aus 5 wird beim Quadrieren 25, und die Wurzel aus 25 führt zurück zu 5. Deshalb ist $(\sqrt{13}{)}^2=13$ und $\sqrt{5^2}=5$.

Die Wurzel ist nicht negativ. Zwar gilt auch (−7)² = 49, aber $\sqrt{49}$ meint nur die nichtnegative Zahl, also 7. Einen negativen Radikanden gibt es nicht, denn kein Quadrat ist negativ; nur $\sqrt{0}=0$ ist erlaubt.

Einschachteln

Nicht jede Wurzel ist eine ganze Zahl. Wie groß ist $\sqrt{50}$? Suche die Quadratzahlen, zwischen denen der Radikand liegt: 7² = 49 und 8² = 64. Wegen 49 < 50 < 64 gilt $7<\sqrt{50}<8$. Allgemein: Liegt a zwischen n² und (n + 1)², dann liegt √a zwischen n und n + 1. Die Mitte 7,5 ist keine gute Schätzung: 7,5² = 56,25 ist schon viel zu groß. Da 50 dicht bei 49 liegt, ist √50 nur knapp größer als 7.

Stelle für Stelle

Jetzt prüfe die Zehntel durch Quadrieren: 7,1² = 50,41 ist zu groß, 7,0² = 49 zu klein. Also $7,0<\sqrt{50}<7,1$. Für die nächste Stelle rechnest du 7,07² = 49,9849 und 7,08² = 50,1264 und erhältst $7,07<\sqrt{50}<7,08$. Jede weitere Stelle kostet nur zwei Quadrate. Das Vorgehen bleibt immer gleich: einen Kandidaten quadrieren, mit dem Radikanden vergleichen, die Grenzen enger ziehen. So kannst du einen Taschenrechnerwert wie 7,0710678 nachprüfen, statt ihn nur zu glauben.

Im Kopf verschieben

Bei glatten Zahlen hilft eine Beobachtung: Ein Quadrat mit zehnmal so langer Seite hat hundertmal so viel Fläche. Aus √4 = 2 folgt deshalb √400 = 20 und √0,04 = 0,2; aus √16 = 4 folgt √1600 = 40. Merke: zwei Stellen im Radikanden, eine Stelle im Wert. Bei √0,04 wird aus 0,04 = 4 : 100 die Rechnung 2 : 10 = 0,2, nicht 0,02. Die Probe bestätigt es: 0,2 · 0,2 = 0,04. Lässt sich der Radikand nicht so zerlegen, schachtelt man wie eben ein.

Das Quadrat mit Fläche 2

Ein Quadrat mit Seite 1 hat eine Diagonale. Das Quadrat über dieser Diagonale besteht aus vier halben Einheitsquadraten und hat den Flächeninhalt 2; seine Seite ist also $\sqrt{2}\approx 1,414$. Ist $\sqrt{2}$ ein Bruch p/q aus ganzen Zahlen? Die Brüche 7/5 und 99/70 kommen sehr nah heran: (7/5)² = 1,96 und (99/70)² ≈ 2,0002. Treffen sie? Weder Näherungen noch Taschenrechnerziffern klären das. Man braucht einen Beweis: eine Überlegung, die für jeden Bruch p/q auf einmal zeigt, dass er nicht passt.

Beweis durch Widerspruch

Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her. Ein Widerspruch kann nicht wahr sein, also war die Annahme falsch, und die Behauptung stimmt. Ein Beispiel: Angenommen, N wäre die größte natürliche Zahl. Dann ist N + 1 noch größer, ein Widerspruch – es gibt also keine größte Zahl. Behauptung: √2 ist kein Bruch. Annahme: Doch, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen p und q – und der Bruch ist gekürzt, p und q haben also keinen gemeinsamen Teiler.

Der Beweis in vier Schritten

1. Quadrieren: $2=\frac{p^2}{q^2}$, also $p^2=2q^2$. Damit ist p² gerade.
2. Ist p² gerade, dann ist p gerade, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Also $p=2k$ und $p^2=4k^2$.
3. Einsetzen: $4k^2=2q^2$, also $q^2=2k^2$. Damit ist q² gerade, und wie in Schritt 2 auch q.
4. p und q sind beide gerade – der Bruch ließe sich mit 2 kürzen. Das ist ein Widerspruch zu „gekürzt“.

Also gibt es kein solches p/q: $\sqrt{2}$ ist irrational.

Wozu neue Zahlen?

Jede Erweiterung des Zahlbereichs löst eine Gleichung, die vorher unlösbar war. $x+5=2$ hat in ℕ keine Lösung, dafür gibt es ℤ. $3x=2$ hat in ℤ keine, dafür gibt es ℚ mit $x=\frac{2}{3}$. Und $x^2=2$ hat in ℚ keine Lösung, das zeigte der Beweis; dafür braucht man die reellen Zahlen ℝ. Die Mengen liegen ineinander: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Reelle Zahlen, die keine Brüche sind, heißen irrational.

Rational oder irrational?

Am Dezimalbruch erkennt man rationale Zahlen: Er bricht ab (0,75) oder wiederholt sich in einer Periode (1/3 = 0,333…, 3/11 = 0,2727…); die Periode kann lang sein, wie bei 1/7 = 0,142857142857…. Ohne Periode ist die Zahl irrational: √2 = 1,41421356…, √3 oder π = 3,14159265…. Unendlich viele Ziffern allein machen eine Zahl also nicht irrational, und nicht jede Wurzel ist irrational: √16 = 4. Auch π ist nicht 22/7 = 3,142857…; das ist nur eine Näherung.

Die Zahlengerade wird lückenlos

Brüche liegen dicht: Zwischen zwei Brüchen liegt immer noch einer. Trotzdem lassen sie Lücken. Trägt man die Diagonale des Einheitsquadrats mit dem Zirkel auf die Zahlengerade ab, trifft sie einen Punkt, zu dem kein Bruch gehört. Erst ℝ füllt alle Lücken: Jedem Punkt entspricht genau eine reelle Zahl. Schon die Pythagoreer stießen auf Strecken, die sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben lassen, nach der Überlieferung ein Schock für ihr Weltbild; dass π irrational ist, wurde erst im 18. Jahrhundert bewiesen.

Vom Rechteck zum Quadrat

Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a hat die Seite √a. Das Heron-Verfahren startet mit irgendeinem Rechteck vom Flächeninhalt a, für a = 2 zum Beispiel mit den Seiten x₀ = 1 und 2 : 1 = 2. Nun ersetzt man die Seite x durch den Mittelwert beider Seiten: x₁ = (1 + 2) : 2 = 1,5. Die andere Seite ist dann 2 : 1,5 = 1,3333. Das Rechteck wird quadratischer, und sein Flächeninhalt bleibt 2.

Der Algorithmus

Als Formel: $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$$ Dieselbe Vorschrift wird immer wieder auf das letzte Ergebnis angewendet – ein iteratives Verfahren. In einer Tabellenkalkulation genügt für a = 2 die Formel =(A2+2/A2)/2, nach unten gezogen. Das Ergebnis eines Schritts ist immer der Startwert des nächsten. Jeder positive Startwert funktioniert; ein schlechter kostet nur ein paar Schritte mehr.

Wie gut ist die Näherung?

Von den beiden Seiten xₙ und a : xₙ ist immer eine zu groß und eine zu klein, denn ihr Produkt ist a. Also liegt $\sqrt{a}$ dazwischen: bei n = 3 ist 1,414211 < √2 < 1,414216. Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich etwa mit jedem Schritt: 1, 3, 6 Stellen bei x₁, x₂, x₃. Der Abstand der beiden Seiten zeigt, wie genau die Näherung ist: bei n = 1 liegt √2 zwischen 1,333333 und 1,5, bei n = 2 schon zwischen 1,411765 und 1,416667.

Mal und geteilt

Unter der Wurzel darf man multiplizieren und dividieren. Für a, b ≥ 0 gilt $$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\text{und}\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}(b>0)$$ Beide Seiten ergeben quadriert dasselbe, zum Beispiel $(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}{)}^2=a\cdot b$. So wird $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$ und $\sqrt{72}:\sqrt{2}=\sqrt{36}=6$. Man darf auch rückwärts lesen: $\sqrt{36}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}$. Das hilft im Kopf: √2 · √8 sieht unlösbar aus, aber 2 · 8 = 16 ist eine Quadratzahl.

Plus und minus: kein Gesetz

Für Summen und Differenzen gibt es kein solches Gesetz. Es ist $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, aber $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Die Kurve von $\sqrt{x}$ steigt immer langsamer; deshalb ist $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ größer als $\sqrt{a+b}$. Bei √(a + b) wird erst der Radikand berechnet, bei √a + √b jede Wurzel einzeln. Auch bei Differenzen gilt kein Gesetz: √25 − √9 = 2, aber √(25 − 9) = √16 = 4.

Gleichartige Wurzeln und Potenzen

Wurzeln mit demselben Radikanden fasst man wie $2x+5x$ zusammen: $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$. Bei $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ geht das nicht. Der Radikand spielt die Rolle der Variablen x: Nur gleiche „Sorten“ lassen sich zusammenfassen. Bei Potenzen hilft (√a)² = a, und der Vorfaktor wird mit quadriert: $(2\sqrt{3}{)}^2=2^2\cdot (\sqrt{3}{)}^2=12$, sowie $(\sqrt{5}{)}^3=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5\sqrt{5}$.

Teilweise radizieren

Enthält der Radikand einen Quadratfaktor, kann man ihn herausziehen: $$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$$ Man sucht den größten Quadratfaktor: Bei √48 geht zwar 4 · 12, aber mit 16 · 3 erhält man sofort 4√3. Der Taschenrechner zeigt oft genau diese Form: 6√2 steht für 8,485…. Rückwärts, beim Einbringen, wird $5\sqrt{2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{50}$. So lassen sich Wurzelterme vergleichen: 3√5 = √45 ist kleiner als 4√3 = √48.

Wurzel im Nenner

Steht eine Wurzel im Nenner, erweitert man den Bruch mit ihr: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Der Wert bleibt gleich (≈ 0,71), der Nenner ist aber rational. Erlaubt ist das, weil man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert; von Hand rechnet man √2 : 2 leichter als 1 : 1,414…. Ebenso ist $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Der Trick mit (a + b)(a − b)

Bei $\sqrt{3}-1$ im Nenner hilft das Erweitern mit √3 nicht. Man erweitert mit dem Gegenstück $\sqrt{3}+1$; nach der dritten binomischen Formel ist $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$. Also $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Mit dem Nenner selbst zu erweitern nützt nichts: (√3 − 1)² = 4 − 2√3 enthält wieder eine Wurzel.

Was ist $\sqrt{x^2}$? Für x = 5 ist es 5. Für x = −3 gilt aber $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$, nicht −3. Die Wurzel ist nie negativ; deshalb kommt der Betrag ins Spiel: $$\sqrt{x^2}=|x|\text{mit}|x|=\{\begin{array}{ll}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$$ Nur wenn x ≥ 0 bekannt ist, darf man den Betrag weglassen.

So wird $\sqrt{9x^2}=3|x|$ und $\sqrt{(x+3{)}^2}=|x+3|$. Der Term $\sqrt{x^4}=x^2$ braucht keinen Betrag, denn x² ist nie negativ. Und $\sqrt{x^2+9}$ lässt sich nicht zu |x| + 3 vereinfachen.

Beim teilweisen Radizieren zieht man ebenfalls den Quadratfaktor heraus: für a ≥ 0 ist $\sqrt{12a^3}=\sqrt{4a^2\cdot 3a}=2a\sqrt{3a}$. Ist das Vorzeichen offen, steht der Betrag: $\sqrt{8x^{2}y}=2|x|\sqrt{2y}$ für y ≥ 0. Und der Radikand darf nie negativ sein: $\sqrt{x-2}$ gibt es nur für x ≥ 2.