Daten und Diagramme

Die 20 Kinder der 6b nennen ihren Lieblingssport. Die Antworten in der Reihenfolge, in der sie eingesammelt werden, heißen Urliste: Fußball, Reiten, Fußball, Turnen, Schwimmen, … Daraus entsteht eine Strichliste. Jede Antwort ist ein Strich, jeder fünfte Strich quert die vier davor — so zählt man in Fünferbündeln und verzählt sich seltener. So wird aus einer unübersichtlichen Urliste eine Tabelle, die man auf einen Blick lesen kann.

Wie oft ein Wert vorkommt, heißt seine absolute Häufigkeit. „Fußball“ wurde 8-mal genannt: Die absolute Häufigkeit von Fußball ist 8.

Alle absoluten Häufigkeiten zusammen ergeben die Gesamtzahl n der Befragten: 8 + 5 + 4 + 3 = 20. Das ist die Probe — stimmt die Summe nicht, hat man sich verzählt.

Aufpassen: Die Häufigkeit gehört zu einem Wert, sie ist nicht der Wert. Bei Schulnoten heißt „Die Note 2 kommt 7-mal vor“: Wert 2, Häufigkeit 7. Der häufigste Wert ist die 2 — nicht die 7.

Die 6b und die 6a haben dieselbe Frage beantwortet. Reiten nannten in der 6b 3 von 20 Kindern, in der 6a 6 von 40. Absolut sind das in der 6a doppelt so viele — die Klasse ist aber auch doppelt so groß. Für einen fairen Vergleich zählt der Anteil.

Der Anteil heißt relative Häufigkeit: die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl.

$$\text{relative Ha¨ufigkeit}=\frac{\text{absolute Ha¨ufigkeit}}{n}$$

In der 6b ist sie 3/20, in der 6a 6/40 — beides ist derselbe Anteil: 3/20 = 6/40 = 15/100 = 0,15 = 15 %. Bruch, Dezimalbruch und Prozent sind drei Schreibweisen derselben Zahl. Alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben 1, also 100 %.

Deshalb hat nicht automatisch den größeren Anteil, wer die größere Zahl hat: In der einen Gruppe stimmen 7 von 10 zu, in der anderen 12 von 40. 12 ist mehr als 7 — aber 30 % sind weniger als 70 %.

An der ganzen Schule wurden 200 Kinder nach ihrem Lieblingssport gefragt. Im Säulendiagramm ist die Höhe einer Säule die absolute Häufigkeit. Zum Ablesen bestimmt man zuerst den Skalenschritt: Zwischen den beschrifteten Linien 0 und 20 liegt eine Linie ohne Zahl, also zählt jeder Schritt 10 — nicht 1. Die Säule für Schwimmen endet auf der fünften Linie: 5 · 10 = 50 Kinder.

Zwei Säulen vergleicht man auf zwei Arten. „Wie viel mehr?“ fragt nach der Differenz: Fußball (80) hat 80 − 40 = 40 Kinder mehr als Turnen (40). „Wievielmal so viel?“ fragt nach dem Quotienten: 80 : 40 = 2, Fußball hat doppelt so viele Stimmen wie Turnen.

Im Kreisdiagramm ist jeder Sektor ein Anteil am Ganzen: ein halber Kreis sind 50 %, ein Viertel 25 %. Wie viele Kinder das sind, zeigt der Kreis nicht — dafür braucht man die Gesamtzahl n: Ein Viertel von 200 Kindern sind 50 Kinder.

Aus einer Häufigkeitstabelle wird ein Säulendiagramm in drei Schritten.

Erstens die Skala. Sie beginnt bei 0, läuft in gleich großen Schritten und reicht über den größten Wert hinaus. Ist der größte Wert 80, passt eine Skala von 0 bis 90 in 10er-Schritten.

Zweitens die Säulen. Alle Säulen sind gleich breit und haben gleiche Abstände; jede Höhe ist Wert : Skalenschritt. Steht 1 cm für 10 Kinder, ist die Säule für 40 Kinder 40 : 10 = 4 cm hoch. Liegt ein Wert zwischen zwei Linien, etwa 45, endet die Säule genau dazwischen: 4,5 cm.

Drittens die Beschriftung. Ein Titel sagt, was gezählt wird, und beide Achsen tragen eine Beschriftung. Zum Schluss vergleicht man jede Säule mit der Tabelle: Ein Ablesefehler steckt fast immer in einer einzigen Säule.

Warum beginnt die Skala bei 0? Nur dann zeigt die Höhe einer Säule wirklich, wie viel der Wert ist: doppelte Höhe bedeutet doppelten Wert. Fehlt diese Regel, täuscht das Diagramm — davon handelt ein späterer Abschnitt.

Beim Kreisdiagramm wird aus dem Anteil ein Winkel. Der ganze Kreis hat 360° und steht für 100 %. Also gehört zu 1 % ein Winkel von 3,6°, und es gilt:

$$\text{Winkel}=\text{relative Ha¨ufigkeit}\cdot 360°$$

Für Fußball mit 40 % ist der Winkel 0,4 · 360° = 144°, Schwimmen mit 25 % hat 90°. Der Winkel ist nicht die Prozentzahl: 25 % sind nicht 25°.

Ein zweiter Weg ist oft bequemer: Bei n = 20 Kindern gehören zu jedem Kind 360° : 20 = 18°. Fußball mit 8 Kindern hat 8 · 18° = 144° — dasselbe Ergebnis.

Zurück geht es mit der Umkehrung: Ein Sektor mit 72° ist 72° : 360° = 1/5 = 20 % des Kreises. Zur Probe müssen alle Winkel 360° ergeben: 144° + 90° + 72° + 54° = 360°. Auf Papier zeichnet man die Sektoren nacheinander mit dem Geodreieck, jeweils vom letzten Schenkel aus; kleine Ungenauigkeiten von ein bis zwei Grad sind normal.

Dieselben Daten lassen sich als Säulen und als Kreis zeigen. Welche Darstellung passt, hängt von der Frage ab: Will ich Teile eines Ganzen zeigen oder Anzahlen vergleichen?

Der Kreis zeigt, wie ein Ganzes aufgeteilt ist. Er braucht deshalb ein Ganzes: Jede Beobachtung liegt in genau einem Sektor, und alle Anteile ergeben 100 %. Darf jedes Kind bis zu drei Sportarten nennen, ergeben die Nennungen kein Ganzes — ihre Summe ist größer als die Zahl der Kinder.

Die Säulen vergleichen Anzahlen. Sie tragen auch viele Kategorien; ein Kreis mit acht Sektoren ist schon mühsam zu lesen, und die kleinen Sektoren lassen sich kaum noch vergleichen.

Auch beim Vergleich verschieden großer Gruppen entscheidet die Darstellung. Die 6c hat 10 Kinder, die 6d hat 40. Absolute Säulen machen die 6d überall größer, weil sie mehr Kinder hat. Erst die Anteile zeigen, wo wirklich mehr Kinder Fußball wählen.

Ein Diagramm kann täuschen, ohne dass eine Zahl falsch ist. Der häufigste Trick: Die Achse beginnt nicht bei 0. Zwei Vereine haben 95 und 100 Mitglieder. Beginnt die Achse bei 90, sind die Säulen 5 und 10 Einheiten hoch — die zweite wirkt doppelt so hoch. Dabei ist 100 : 95 ≈ 1,05, es sind nur etwa 5 % mehr.

Der zweite Trick sind ungleiche Skalenschritte. Steht an der Achse 0, 10, 20, 40, 50, ist der Schritt von 20 auf 40 doppelt so lang wie die anderen: Ein Verlauf, der gleichmäßig aussieht, steigt in Wahrheit ungleichmäßig.

Drei Prüffragen entlarven das: Wo beginnt die Achse? Sind alle Schritte gleich groß? Und wie groß ist das wahre Verhältnis? Das rechnet man aus den beschrifteten Werten aus, nicht aus den Höhen. Deshalb gilt bei jedem Diagramm: zuerst die Achse ansehen — ihre Beschriftung verrät, ob die Säulen bei 0 beginnen.

Zwei weitere Tricks. Erstens Bildsymbole: Für „doppelt so viel“ zeichnet jemand das Symbol doppelt so hoch — und, damit es nicht verzerrt aussieht, auch doppelt so breit. Aber die Fläche wächst mit Faktor mal Faktor: 2 · 2 = 4. Das Auge sieht vierfach. Ehrlich sind doppelt so viele Symbole oder nur die verdoppelte Höhe.

Zweitens fehlt oft die Bezugsgröße. „Zwei Drittel sind dafür“ — zwei Drittel von wie vielen? Und „mehr Fälle“ heißt nicht „größerer Anteil“: Eine Stadt mit 100 000 Einwohnern hat 500 Fälle, ein Dorf mit 200 Einwohnern 40. Die Stadt hat mehr Fälle, im Dorf aber ist jeder Fünfte betroffen, in der Stadt nur einer von 200.

Aussagen prüft man an den abgelesenen Zahlen. Steht in der Schlagzeile „verdoppelt“, im Diagramm aber 480 und 500, dann ist 500 : 480 ≈ 1,04 — nicht 2. Und man stellt nur Fragen, die das Diagramm beantworten kann: Es zeigt, wie viele Kinder Fußball wählten, nicht warum.

Vier Türme sind 2, 4, 6 und 12 Klötze hoch. Geben die hohen Türme an die niedrigen ab, bis alle gleich hoch sind, hat jeder Turm 6 Klötze. Diese Höhe heißt arithmetisches Mittel, kurz Mittelwert; im Alltag sagt man auch Durchschnitt.

Man rechnet es so: alle Werte addieren, durch die Anzahl der Werte teilen. $$\text{Mittelwert}=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}=\frac{2+4+6+12}{4}=\frac{24}{4}=6$$ Rückwärts ist Mittelwert mal Anzahl die Summe: 6 · 4 = 24.

Aus einer Häufigkeitstabelle zählt jeder Wert so oft, wie er vorkommt. Kommt die Note 1 viermal vor, die Note 2 dreimal und die Note 3 dreimal, ist der Mittelwert (4 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3) : 10 = 19 : 10 = 1,9.

Das Mittel liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert und muss kein Datenwert sein: Der Mittelwert von 1 und 5 ist 3. Ein Ausreißer schiebt es stark. Nimmt man zu 2, 3 und 4 den Wert 100 dazu, springt der Mittelwert von 3 auf 27,25. Ein Durchschnitt beschreibt eine ganze Reihe von Werten mit einer einzigen Zahl — über jeden einzelnen Wert sagt er nichts.