Lineare Gleichungen und Prozent

Die Waage

Links liegen zwei Beutel, die gleich viel wiegen, und ein kleines Gewicht, rechts ein großes Gewicht. Wie schwer ist ein Beutel? Probier es aus: Mach die Beutel leichter oder schwerer, bis der Balken waagerecht steht.

Eine Waage im Gleichgewicht ist das Bild, mit dem dieser ganze Kurs arbeitet. Jetzt bekommt sie Zeichen.

Eine Waage steht im Gleichgewicht, wenn beide Schalen gleich schwer sind. Genau das sagt das Gleichheitszeichen: Beide Seiten sind gleich viel wert. 8 + 7 = 9 + 6 ist wahr, denn links und rechts steht 15. Es heißt nicht „links steht die Aufgabe, rechts das Ergebnis“.

In jedem Beutel steckt dieselbe unbekannte Zahl x Gramm. Die Gleichung $2x+3=17$ sagt: Zwei Beutel und 3 g wiegen so viel wie 17 g. Im Bild liegen sie links, die 17 g rechts, und der Balken neigt sich zur schwereren Schale.

Lösung und Einsetzen

Eine Lösung ist eine Zahl für x, bei der die Waage im Gleichgewicht steht. Ob eine Zahl passt, prüfst du durch Einsetzen: In $2x+3=17$ ist x = 7 richtig, denn 2 · 7 + 3 = 17. Für x = 5 wird die linke Seite 13, die Waage kippt nach rechts. Alle Lösungen zusammen heißen Lösungsmenge, hier L = {7}.

Systematisch probieren

Du kannst die Lösung auch probieren, aber mit Plan: Ist die linke Seite zu klein, probierst du ein größeres x, ist sie zu groß, ein kleineres. So schließt du die Lösung ein. Für 2x + 3 = 17 gibt x = 5 den Wert 13 und x = 10 den Wert 23, die Lösung liegt also dazwischen. Das klappt, kostet aber viele Versuche, und manchmal trifft kein Versuch: Bei 2x + 3 = 18 gibt x = 7 den Wert 17 und x = 8 den Wert 19. Keine ganze Zahl bringt diese Waage ins Gleichgewicht, die Lösung 7,5 liegt dazwischen.

Dasselbe auf beiden Seiten

Die Waage steht im Gleichgewicht. Was darfst du tun, ohne dass sie kippt? Geh Schritt für Schritt weiter und beobachte, was auf beiden Schalen passiert.

Was du gesehen hast, ist eine Regel, und sie hat einen Namen.

Nimmst du von beiden Waagschalen gleich viel weg, bleibt das Gleichgewicht, und die Lösung ändert sich nicht. Das nennt man Äquivalenzumformung. Die Umformung schreibst du hinter einen senkrechten Strich: $3x+4=19\mid -4$ heißt „auf beiden Seiten 4 abziehen“. Dann steht da 3x = 15. Im Bild ist das Schritt 1: Beide Schalen verlieren 4 g, und der Balken bleibt waagerecht. Änderst du nur eine Seite, kippt die Waage: Nimmst du die 4 nur links weg, steht 3x = 19 da, und x = 5 passt nicht mehr, denn 3 · 5 = 15, nicht 19.

Rückwärts durch die Rechenschritte

In 3x + 4 wird x erst mit 3 multipliziert, dann kommt 4 dazu. Zum Auflösen machst du diese Schritte in umgekehrter Reihenfolge mit der Gegenoperation rückgängig: zuerst die Zahl neben dem x ($\mid -4$), dann den Faktor ($\mid :3$). Aus 3x = 15 folgt x = 5. Würdest du zuerst durch 3 teilen, müsstest du auch die 4 durch 3 teilen, das wird unnötig schwer.

Steht ein Minus da wie in 6x − 9 = 27, gibt es auf der Waage kein Gewicht von −9 g. Hier endet das Bild, die Regel gilt weiter: Du rechnest auf beiden Seiten $\mid +9$, denn −9 + 9 = 0. So wird daraus 6x = 36 und x = 6.

Aufschreiben und Probe

Schreibe jeden Schritt in eine eigene Zeile, den Umformungsstrich rechts daneben, und gib am Ende die Lösungsmenge an. Die Probe machst du in der ursprünglichen Gleichung: 3 · 5 + 4 = 19 stimmt. Prüfst du nur in einer umgeformten Zeile wie 3x = 15, findest du einen Rechenfehler auf dem Weg nicht.

Bisher lagen Beutel nur auf einer Schale. In 5x + 2 = 3x + 10 liegen auf beiden welche, und Zahlen abziehen reicht nicht: Mit $\mid -2$ wird daraus 5x = 3x + 8, x steht immer noch links und rechts.

x auf beiden Seiten

Steht x links und rechts, sammelst du die x-Terme auf einer Seite, indem du sie auf beiden Seiten abziehst. In $5x+2=3x+10$ nimmst du 3x weg ($\mid -3x$): Von fünf Beuteln links bleiben zwei, rechts keiner, wie beim Zusammenfassen gleichartiger Terme 5x − 3x = 2x. Du erhältst 2x + 2 = 10. Im Bild nimmt Schritt 1 von beiden Schalen drei Beutel, blass bleibt stehen, was fehlt. Danach geht es wie gewohnt: $\mid -2$, $\mid :2$, x = 4. Die Probe in der Ausgangsgleichung stimmt: 5 · 4 + 2 = 22 und 3 · 4 + 10 = 22.

Wer die 3x nur links wegnimmt, schreibt 2x + 2 = 3x + 10. Bei x = 4 wiegt die linke Schale dann 10 g, die rechte 22 g: Die Waage kippt, und die neue Gleichung hat eine andere Lösung, nämlich x = −8.

Durch eine negative Zahl teilen

Du kannst auch 5x abziehen: $\mid -5x$ ergibt $2=-2x+10$, $\mid -10$ ergibt $-8=-2x$. Einen Beutel mit −2x Gramm hat keine Waage, hier endet das Bild. Die Regel „auf beiden Seiten dasselbe“ gilt trotzdem, auch beim Teilen durch eine negative Zahl: $\mid :(-2)$ ergibt 4 = x, denn −8 : (−2) = 4, Minus durch Minus ergibt Plus. Der Umweg führt zum selben x = 4. Wer das Minus des Teilers vergisst, erhält x = −4, und die Probe 5 · (−4) + 2 = −18 gegen 3 · (−4) + 10 = −2 zeigt den Fehler sofort.

Kommt die Gleichung verpackt an, etwa $2(x+1)+3x=x+18$, reicht das Sammeln nicht. Ziehst du x ab, steht links 2(x + 1) + 2x, und ein Teil von x steckt immer noch in der Klammer.

Klammern zuerst

Offen blieb zuletzt $2(x+1)+3x=x+18$. Auf der Waage sind 2(x + 1) zwei Päckchen, jedes aus einem Beutel und 1 g. Steht eine Klammer im Weg, löst du sie zuerst auf: Der Faktor vor der Klammer multipliziert jeden Summanden. Das ist das Ausmultiplizieren aus den Termumformungen, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 18. Aus 2(x + 1) wird also 2x + 2: Du packst die Päckchen aus und hast zwei Beutel und zweimal 1 g.

Beim Auspacken änderst du nur die linke Seite, und die Waage bleibt trotzdem im Gleichgewicht. Du nimmst nichts weg und legst nichts dazu, du schreibst denselben Inhalt anders auf. Das ist eine Termumformung, keine Äquivalenzumformung, deshalb steht kein Strich dahinter. Wer nur den ersten Summanden malnimmt, schreibt 2x + 1 und verliert ein Gramm: Bei x = 4 wiegt 2x + 1 + 3x nur 21 g, die rechte Schale aber 22 g.

Dasselbe zeigt eine Fläche. Ein Beet ist 3 hoch und x + 2 breit. Es besteht aus zwei Teilen mit derselben Höhe 3, also ist seine Fläche $3(x+2)=3x+6$. Soll sie 21 sein, folgt aus 3x + 6 = 21 mit $\mid -6$ und $\mid :3$ x = 5.

Zuerst zusammenfassen

Nach dem Auspacken liegen links Beutel und Gewichte durcheinander: 2x + 2 + 3x. Gleichartige Terme fasst du zusammen, bevor du umformst. Wie bei den Termumformungen zählst du Beutel: 2 Beutel und 3 Beutel sind 5 Beutel, also $5x+2=x+18$. Im Bild ist das Schritt 2, wieder nur auf der linken Seite. Fasse jede Seite für sich zusammen und behalte die Vorzeichen: 2x + 3x ist 5x, nicht 5x², und 7x − 3x ist 4x, nicht 10x.

Ab hier geht es weiter wie bei x auf beiden Seiten: $\mid -x$ ergibt 4x + 2 = 18, $\mid -2$ ergibt 4x = 16, $\mid :4$ ergibt x = 4. Probe in der Ausgangsgleichung: 2 · (4 + 1) + 3 · 4 = 22 und 4 + 18 = 22. Die Reihenfolge lautet also: Klammern auflösen, zusammenfassen, x sammeln, Zahlen wegschaffen, teilen. Die ersten beiden Schritte ändern eine Seite, die letzten drei beide.

Bis hierher war jede Gleichung vorgegeben. Die Fahrradfrage aus dem Einstieg kommt aber als Text, und die Gleichung musst du erst selbst aufschreiben.

Wofür steht x?

Ein Taxi kostet 3 € Grundpreis und 2 € je Kilometer. Die Fahrt kostet 15 €. Wie lang ist sie? Zuerst legst du fest, wofür x steht: x = Länge der Fahrt in Kilometern. x ist eine Zahl mit Einheit, nicht „das Taxi“. Eine gute Festlegung nennt die Größe und die Einheit, sonst kannst du die Terme später nicht lesen.

Wörter werden Terme

Dann übersetzt du Wortgruppen in Terme. „3 mehr als t“ ist t + 3, „3-mal so viel wie t“ ist 3t, „3 weniger als t“ ist t − 3. Bei „weniger als“ steht die Zahl hinten. Vorsicht bei „3-mal so viele A wie B“: Das Größere ist A, also A = 3B, nicht B = 3A. Bei 12 Äpfeln und 4 Birnen stimmt A = 3B, denn 12 = 3 · 4; B = 3A würde 4 = 36 behaupten. Für die Fahrt sind 2 € je Kilometer der Term 2x, mit Grundpreis 3 + 2x.

Zwei Wege zur selben Größe

Der Preis der Fahrt lässt sich auf zwei Wegen beschreiben: aus den Angaben als 3 + 2x und als bekannter Preis 15. Beides ist dieselbe Größe, also setzt du gleich: $3+2x=15$. Diese Idee heißt Invarianzprinzip: Eine Größe, die sich nicht verändert, wird auf zwei Arten beschrieben.

Im Bild spielen die beiden Balken die Rolle der beiden Waagschalen: links der Grundpreis 3 und zwei Beutel x, rechts 15. Gelöst wird wie gewohnt, $\mid -3$ und $\mid :2$, also x = 6. Gefragt war aber: Wie lang ist die Fahrt? „x = 6“ beantwortet das noch nicht.

Antwort im Text

Beim Taxi von vorhin heißt die Antwort nicht „x = 6“, sondern „Die Fahrt ist 6 km lang.“ Dasselbe an einem zweiten Beispiel: Jonas spart: 45 € sind im Sparschwein, jede Woche kommen 8 € dazu. Nach x Wochen hat er 45 + 8x Euro, er will 125 €. Aus $45+8x=125$ folgt 8x = 80 und x = 10. Fertig ist die Aufgabe damit noch nicht. Du schreibst einen Antwortsatz mit Einheit: „Nach 10 Wochen hat Jonas 125 €.“ Er benutzt die Wörter der Frage, nicht nur „x = 10“. Im Bild wächst der Sparbalken mit jeder Woche um 8 €, bis er so lang ist wie das Ziel.

Passt die Lösung?

Nicht jede Lösung einer Gleichung ist eine Antwort auf die Aufgabe. Für Wochen, Personen oder Stück brauchst du ganze Zahlen, für Preise und Längen sind auch Dezimalzahlen möglich, negative Werte sind meist sinnlos. Der sinnvolle Bereich hängt von der Situation ab. Ergibt sich x = 3,5 Personen oder x = −2 Tage, dann hat die Gleichung eine Lösung, die Aufgabe aber nicht.

Probe am Text

Die Probe in der Gleichung prüft nur deine Umformungen. Ist die Gleichung selbst falsch aufgestellt, stimmt die Probe trotzdem. Deshalb setzt du die Lösung auch in den Text ein: Hat Jonas nach 10 Wochen wirklich 45 € + 10 · 8 € = 125 €? Ja. So merkst du, wenn die Gleichung nicht zur Aufgabe passt, zum Beispiel weil du zwei Angaben vertauscht hast.

Die Fahrradfrage aus dem Einstieg ist auch eine Textaufgabe. Ihr fehlt noch eine Übersetzung: Welcher Term gehört zu „20 % Rabatt“?

Die Grundgleichung

Prozent heißt „von Hundert“: p % sind p/100, 20 % sind 0,2. In jeder Prozentaufgabe kommen drei Größen vor: der Grundwert G (das Ganze, 100 %), der Prozentsatz p % und der Prozentwert W (der Teil). Sie hängen so zusammen:

$$W=p\%\cdot G=\frac{p}{100}\cdot G$$

Lenas erster Schritt ist genau diese Rechnung: 20 % von 240 € sind 0,2 · 240 € = 48 €. Gerechnet ist das richtig. Ob 240 € der richtige Grundwert ist, sagt die Gleichung nicht. Im Bild ist G der alte Preis, der Streifen rechts der Rabatt W, und was links blau bleibt, kostet das Fahrrad danach.

Bei Lenas 288 € ist der Rabatt 0,2 · 288 € = 57,60 €, und es bleiben 230,40 €, nicht 240 €. Erst bei G = 300 € reicht der Rest bis zur gestrichelten Linie: 60 € Rabatt, 240 € Rest.

Der Grundwert ist gesucht

Im Laden hängt ein Schild: „Sie sparen 60 €, das sind 20 %!“ Hier ist der Grundwert unbekannt, also nennst du ihn x: $0,2\cdot x=60$. Das ist dieselbe Umformung wie 3x = 15 $\mid :3$, nur mit einem Dezimalbruch: $\mid :0,2$. Beim Teilen verschiebst du bei beiden Zahlen das Komma um eine Stelle, 60 : 0,2 = 600 : 2 = 300, also x = 300. Probe: 0,2 · 300 = 60. Das ist der alte Preis, den du am Streifen gefunden hast. Frage immer zuerst: Prozent wovon? Der Grundwert ist die Zahl, auf die sich die Prozente beziehen. Am doppelten Streifen liest du beides ab: oben die Prozent, unten die Euro.

Der Prozentsatz ist gesucht

Fragt die Aufgabe nach dem Prozentsatz, ist er die Unbekannte. Wie viel Prozent hat Lena eigentlich abgezogen? Sie nimmt 48 € von ihrem alten Preis 288 €: $x\cdot 288=48$, und mit $\mid :288$ wird x = 48 : 288 ≈ 0,167 ≈ 16,7 %. Aus dem Anteil W : G wird durch Malnehmen mit 100 der Prozentsatz. Lenas Rechnung passt also zu knapp 17 % Rabatt, nicht zu 20 %. Bei 300 € sind es 60 : 300 = 0,2 = 20 %.

Gefunden hast du die 300 € am Streifen durch Probieren, wie bei der Waage am Anfang. Hätte das Fahrrad nach dem Rabatt 250 € gekostet, trifft kein Schritt des Reglers: Bei G = 312 € bleiben 249,60 €, bei 316 € schon 252,80 €. Die Grundgleichung hilft hier nicht direkt, denn 240 € oder 250 € sind nicht 20 % des alten Preises, sondern das, was nach dem Rabatt übrig bleibt.

Der Faktor

Sinkt ein Preis um 20 %, bleiben 100 % − 20 % = 80 % übrig. Der neue Preis ist 0,8 mal der alte. Die Zahl 0,8 heißt Faktor. Steigt der Preis um p %, rechnest du mit 1 + p/100, sinkt er, mit 1 − p/100. Zu +20 % gehört 1,2, zu −15 % gehört 0,85, nicht 0,15. Im Bild ist der blaue Balken das Fahrrad vor dem Rabatt, 300 €; der amberfarbene ist 300 € mal Faktor.

Rückwärts zum alten Preis

Zurück zum Fahrrad: Nach 20 % Rabatt kostet es 240 €. Der alte Preis x ist der Grundwert, also $0,8\cdot x=240$ und x = 300. Probe: 300 € − 20 % von 300 € = 300 € − 60 € = 240 €. Lena hat die 20 % von 240 € gerechnet. Der Rabatt bezieht sich aber auf 300 €, den Preis vor dem Rabatt. Ben hat recht. Die Gleichung braucht keinen Reglerschritt: Kostet das Fahrrad nach dem Rabatt 250 €, folgt aus $0,8\cdot x=250$ mit $\mid :0,8$ x = 312,50 €, genau der Wert, den der Prozentstreifen nicht treffen konnte.

Erst rauf, dann runter

Ein Preis steigt um 20 % und sinkt danach um 20 %. Ist er wieder am Anfang? Nein: 100 € · 1,2 = 120 €, dann 120 € · 0,8 = 96 €. Der zweite Prozentsatz bezieht sich auf einen neuen Grundwert. Man multipliziert die Faktoren und addiert nicht die Prozente: 1,2 · 0,8 = 0,96, das sind −4 %.

Eine ähnliche Falle steckt in Angaben über Prozentsätze selbst: Steigt ein Anteil von 40 % auf 50 %, ist er dann um 10 % gestiegen?

Prozentpunkte

Der Anteil steigt von 40 % auf 50 %. Das sind 10 Prozentpunkte mehr, die Differenz der Prozentsätze. Bezogen auf die alten 40 % ist es ein relativer Anstieg um 10 : 40 = 25 %. Beide Angaben stimmen, sie meinen aber Verschiedenes. Liest du „um 10 %“, musst du fragen: Punkte oder relativ?

Prüfbar oder Wertung

Aussagen mit Prozenten haben oft zwei Teile. „Der Stromverbrauch sank um 5 %“ lässt sich nachrechnen. „Das ist ein toller Erfolg“ ist eine Wertung: Sie hängt von Zielen und Interessen ab, nicht von der Rechnung. Rechne den prüfbaren Teil nach und sage getrennt, ob die Wertung daraus folgt. Alle Zahlen dieses Abschnitts sind erfunden.

Auf welchen Wert bezogen?

Ein größerer Prozentsatz ist nicht immer eine größere Zahl: 30 % von 200 sind 60, 20 % von 600 sind 120. Vergleiche daher die Grundwerte mit. Auch Diagramme täuschen: Beginnt die Achse nicht bei 0, wirkt ein kleiner Unterschied riesig. Im Bild sind 55 nur etwa 6 % mehr als 52.

Zurück zum Anfang. Lena hat richtig gerechnet, aber mit dem falschen Grundwert: Sie nahm 20 % vom neuen Preis statt vom alten. Das ist derselbe Fehler wie „um 10 %“ statt „um 10 Prozentpunkte“, ein Prozentsatz ohne die Frage, wovon. Ben hat eine Gleichung aufgestellt, die alle Angaben enthält, sie mit einer Umformung gelöst und mit der Probe 300 € − 60 € = 240 € geprüft. Vereinfacht hat dieser Text an zwei Stellen: Die Waage trägt nur positive Gewichte und endet bei −9 g und −2x, die Regel gilt dort weiter. Und jede Gleichung hier hatte genau eine Lösung. Gleichungen ohne Lösung wie 2x + 1 = 2x + 3, Gleichungssysteme und Zinseszins mit wiederholten Faktoren bauen auf genau diesen Schritten auf.