Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse

In der 9a sind 30 Schülerinnen und Schüler. In einer Sportumfrage geben 18 an, regelmäßig Fußball zu spielen, und 12 spielen Basketball. Die Lehrerin fragt:

„Wie viele von euch betreiben mindestens eine dieser beiden Sportarten?“

Auf den ersten Blick scheint die Antwort einfach zu sein: 18 + 12 = 30. Also alle? Doch das passt nicht — denn ein paar Schülerinnen und Schüler spielen beides. Sie würden in dieser Rechnung doppelt gezählt.

In diesem Artikel lernst du, wie man zwei Ereignisse verknüpft: mit einem Mengendiagramm, einer Vierfeldertafel und der Formel

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Am Ende kannst du Aufgaben wie diese sicher lösen — und dabei sauber zwischen „A oder B“ und „A und B“ unterscheiden.

Um zwei Ereignisse gleichzeitig darzustellen, zeichnen wir ein Mengendiagramm (auch Venn-Diagramm genannt). Jeder Kreis steht für ein Ereignis:

• Der linke Kreis umfasst alle, die Fußball spielen.
• Der rechte Kreis umfasst alle, die Basketball spielen.
• Das umgebende Rechteck ist die Ergebnismenge Ω — alle 30 Schülerinnen und Schüler der Klasse.

Aus der Befragung wissen wir: 5 spielen beide Sportarten. Sie liegen genau dort, wo sich die Kreise überlappen. Damit ergeben sich vier Bereiche:

• 13 spielen nur Fußball (18 − 5)
• 5 spielen beides
• 7 spielen nur Basketball (12 − 5)
• 5 spielen keines von beiden (außerhalb der Kreise): 30 − 13 − 5 − 7 = 5

Zusammen: 13 + 5 + 7 + 5 = 30. Alle sind erfasst, niemand wird doppelt gezählt.

Achtung: Die Zahl 18 gehört zum ganzen Kreis „Fußball“ und schließt die 5 im Überlapp ein. Im Bereich „nur Fußball“ stehen deshalb nur 13.

Wir interessieren uns zuerst für den Bereich, in dem sich beide Kreise überschneiden. Dort liegen genau die Schüler:innen, die Fußball und Basketball spielen.

Diesen Bereich nennen wir die Schnittmenge und schreiben:

A ∩ B  =  „A und B treten gleichzeitig ein“

Das Symbol ∩ heißt Schnitt (englisch cap, „Kappe“). Die Schnittmenge enthält genau die Ergebnisse, die in beiden Ereignissen vorkommen.

In unserer Klasse: |A ∩ B| = 5. Fünf Schüler:innen spielen sowohl Fußball als auch Basketball. Die senkrechten Striche bedeuten „Anzahl der Elemente“, hier der Personen.

Klicke unten auf die Region, um den Schnitt hervorzuheben — und probiere auch die anderen Regionen aus.

Beachte: Wenn man fragt „Wie viele Schüler:innen spielen Fußball und Basketball?“, lautet die Antwort 5 — nicht 18 und nicht 12. Das Wort „und“ grenzt die Menge stark ein.

Dasselbe gilt beim Würfel. Sei A = „Augenzahl gerade“ = {2, 4, 6} und B = „Augenzahl größer als 3“ = {4, 5, 6}. Man prüft jedes Ergebnis einzeln: nur die 4 und die 6 liegen in beiden Mengen, also A ∩ B = {4, 6}. Die Schnittmenge ist nie größer als die kleinere der beiden Mengen.

Jetzt zur Ausgangsfrage: Wie viele spielen mindestens eine der beiden Sportarten? Wir suchen alle Schüler:innen, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen — egal, in welchem.

Diese Menge heißt Vereinigungsmenge:

A ∪ B  =  „A oder B (oder beides) tritt ein“

Das Symbol ∪ heißt Vereinigung (englisch cup). Wichtig: Das mathematische „oder“ ist einschließend. Ein Schüler, der beide Sportarten spielt, gehört auch zu „A oder B“.

Aus dem Mengendiagramm können wir |A ∪ B| einfach ablesen: alle Personen in den Kreisen.

• nur Fußball: 13
• beides: 5
• nur Basketball: 7
• = zusammen 25 Personen

Also: |A ∪ B| = 25. Das sind die gesuchten Schüler:innen, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben. Die übrigen 5 Personen liegen außerhalb der Kreise — sie sind weder Fußballer:innen noch Basketballer:innen.

Die übrigen Personen lassen sich auch rechnen: Gesamtzahl − |A ∪ B| = 30 − 25 = 5 spielen weder Fußball noch Basketball.

Beim Würfel: A = {2, 4, 6} („gerade“) und B = {4, 5, 6} („größer als 3“). Dann ist A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. Die 4 und die 6 erfüllen beide Bedingungen und stehen trotzdem nur einmal in der Menge.

Bisher haben wir das Ergebnis 25 aus dem Diagramm direkt abgelesen. Gibt es auch eine Formel, mit der wir |A ∪ B| ohne das Bild bestimmen können? Probieren wir es:

|A|  +  |B|  =  18 + 12  =  30

Aber im Diagramm zählen wir nur 25 verschiedene Personen! Es fehlen 5. Wo ist der Fehler?

Schau dir das Mengendiagramm noch einmal an: Die 5 Personen, die beides spielen, gehören sowohl zu A als auch zu B. Wenn wir |A| + |B| rechnen, werden sie zweimal mitgezählt — einmal als Fußballspieler und einmal als Basketballspieler.

Um das auszugleichen, müssen wir die Schnittmenge einmal abziehen:

|A ∪ B|  =  |A|  +  |B|  −  |A ∩ B|

Setzen wir unsere Zahlen ein:

|A ∪ B| = 18 + 12 − 5 = 25 ✓

Diese Regel heißt Inklusions-Exklusions-Formel (oder kürzer: Summenformel). Probiere unten verschiedene Zahlen aus — das Diagramm und die Formel passen sich live an.

Umgekehrt geht es auch: Kennt man |A|, |B| und |A ∪ B|, folgt der Schnitt aus der umgestellten Formel |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 18 + 12 − 25 = 5. Die Summe 30 ist um genau so viele zu groß, wie Personen doppelt gezählt wurden.

Das Mengendiagramm ist anschaulich, wird aber unübersichtlich, sobald Häufigkeiten ins Spiel kommen. Eine zweite, besonders praktische Darstellung ist die Vierfeldertafel.

Sie ordnet alle Personen nach zwei Merkmalen in eine Tabelle mit vier Feldern ein. Bei unserer Klasse sind die Merkmale:

• A = „spielt Fußball“ und das Gegenereignis Ā = „spielt nicht Fußball“
• B = „spielt Basketball“ und das Gegenereignis B̄ = „spielt nicht Basketball“

In jedes Feld schreiben wir, wie viele Schüler:innen die jeweilige Kombination erfüllen:

• oben links: A ∩ B — Fußball und Basketball: 5
• oben rechts: A ∩ B̄ — Fußball, aber kein Basketball: 13
• unten links: Ā ∩ B — kein Fußball, aber Basketball: 7
• unten rechts: Ā ∩ B̄ — weder noch: 5

Die Randspalten und Randzeilen ergeben die einzelnen Häufigkeiten und in der Ecke unten rechts steht die Gesamtzahl.

Lies aus der Tabelle ab:

• |A| = 5 + 13 = 18 (Zeilensumme oben)
• |B| = 5 + 7 = 12 (Spaltensumme links)
• |A ∩ B| = 5 (oben links)
• Gesamtzahl = 30 (unten rechts)

Die Vierfeldertafel ist also nichts anderes als eine geordnete Form des Mengendiagramms — und sie eignet sich besonders, um aus einer Aufgabe Schritt für Schritt die fehlenden Felder zu ergänzen.

Meist kennt man nur einige Zahlen. In einem Kurs mit 20 Personen trinken 12 Kaffee (A), 9 Tee (B) und 5 beides. Dann steht A ∩ B = 5 fest, und die anderen Felder ergeben sich durch Differenzen: A ∩ B̄ = 12 − 5 = 7, Ā ∩ B = 9 − 5 = 4 und zuletzt Ā ∩ B̄ = 20 − 5 − 7 − 4 = 4.

Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten — also reine Anzahlen. Wenn wir nun zufällig eine Schülerin oder einen Schüler aus der Klasse wählen, können wir die Tafel direkt in Wahrscheinlichkeiten übersetzen.

Die Idee aus der Klasse 8 (Laplace-Wahrscheinlichkeit) gilt weiter:

P(Ereignis)  =  Anzahl günstiger Fälle Gesamtzahl

Wir teilen also jede Zahl der Tafel durch 30. Aus Häufigkeiten werden so relative Häufigkeiten — und das sind genau die Wahrscheinlichkeiten unseres Zufallsexperiments „eine Person rein zufällig auswählen“:

Damit folgt die wichtige Regel direkt aus der Summenformel — wir teilen einfach jede Seite durch die Gesamtzahl:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Das ist genau dieselbe Formel wie für die Anzahlen — nur jetzt für Wahrscheinlichkeiten. In unserem Beispiel:

P(A ∪ B) = 0,60 + 0,40 − 0,17 ≈ 0,83

Mit Wahrscheinlichkeit etwa 83 % trifft man also einen Schüler oder eine Schülerin, der bzw. die mindestens eine der beiden Sportarten betreibt.

Auch das Gegenteil bekommst du geschenkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt, ist der Rest bis 1:

P(weder A noch B) = 1 − P(A ∪ B) ≈ 1 − 0,83 = 0,17

Das passt zur Tafel: 5 von 30 Personen liegen außerhalb der Kreise, 5 : 30 ≈ 0,17.

Was passiert, wenn sich die zwei Kreise nicht berühren? Stell dir einen Würfelwurf vor und betrachte die Ereignisse:

• A = „Augenzahl ist gerade“ = {2, 4, 6}
• B = „Augenzahl ist 1“ = {1}

Es gibt keine Augenzahl, die gleichzeitig gerade und gleich 1 ist. Solche Ereignisse heißen disjunkt (oder unvereinbar):

A ∩ B = ∅  ⟹  P(A ∩ B) = 0

Im Mengendiagramm berühren sich die beiden Kreise dann gar nicht — die Schnittfläche ist leer. Der dritte Schieber steht auf 0. Zieh ihn probeweise nach oben: Sobald er größer als 0 ist, überlappen sich die Kreise, und der Korrekturterm ist nicht mehr null.

Für disjunkte Ereignisse vereinfacht sich die Summenformel zu:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)   (falls A ∩ B = ∅)

Beim Würfel: P(A ∪ B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 ≈ 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade oder gleich 1 ist, beträgt also rund 67 %.

Faustregel: Frag dich vor jeder Vereinigungsaufgabe — können beide Ereignisse gleichzeitig eintreten? Wenn nein, ist es ein einfacher Spezialfall.

Zum Vergleich: A = „gerade“ = {2, 4, 6} und B = „größer als 3“ = {4, 5, 6} sind nicht disjunkt, denn die 4 und die 6 liegen in beiden. Hier gilt die volle Formel: P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6. Einfach 3/6 + 3/6 zu rechnen wäre falsch.

Wir haben jetzt zwei mächtige Werkzeuge, um zwei verknüpfte Ereignisse zu beschreiben — und genau eine Formel, die sie zusammenhält.

Die wichtigsten Begriffe

• A ∩ B — Schnittmenge: A und B treten beide ein.
• A ∪ B — Vereinigungsmenge: A oder B (oder beides) tritt ein.
• Ā — Gegenereignis: A tritt nicht ein.

Die Inklusions-Exklusions-Formel

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Sie funktioniert wörtlich genauso für absolute Häufigkeiten: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Bei disjunkten Ereignissen verschwindet der letzte Term.

Zwei Darstellungen — eine Idee

Mengendiagramm und Vierfeldertafel zeigen dieselben Daten aus zwei Perspektiven. Beide darfst du in Aufgaben einsetzen — und je nach Information, die gegeben ist, ist mal die eine, mal die andere bequemer.

• Mengendiagramm — gut zum schnellen Visualisieren von „und/oder/weder/noch“.
• Vierfeldertafel — ideal, um aus Teilangaben die fehlenden Felder Schritt für Schritt auszufüllen.

Vorgehen bei Textaufgaben

1. Identifiziere die zwei Merkmale A und B (und ihre Gegenereignisse Ā, B̄).
2. Übertrage die gegebenen Zahlen in eine Vierfeldertafel.
3. Fülle die fehlenden Felder über Zeilen-/Spaltensummen aus.
4. Lies oder berechne die gefragte Wahrscheinlichkeit.
5. Teste mit der Inklusions-Exklusions-Formel, ob alles stimmt.

Im nächsten Schritt — der Klasse 11 — wirst du sehen, wie diese Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit P_B(A) führt. Aber das ist eine andere Geschichte.