Sinussatz und Kosinussatz — beliebige Dreiecke berechnen

Ein allgemeines Dreieck ist nicht rechtwinklig — die trigonometrischen Verhältnisse $\sin$, $\cos$ und $\tan$ lassen sich nicht direkt anwenden. Die einfachste Hilfskonstruktion: eine Höhe.

Fällen wir das Lot vom Eckpunkt C senkrecht auf die gegenüberliegende Seite c (die Strecke $\overline{AB}$), entsteht der Höhenfußpunkt $F$. Die Strecke $\overline{CF}$ ist die Höhe $h_c$.

Für unser Beispieldreieck mit $c=7,0$, $a\approx 8,1$ und $b\approx 7,2$ zeigt das Widget $h_c\approx 6,7$. Warum genau dieser Wert herauskommt, klärt sich in den nächsten Schritten — aus der Höhe folgt alles Weitere.

Der Höhenfußpunkt $F$ zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke: links das Dreieck $AFC$ mit Hypotenuse b, rechts das Dreieck $BFC$ mit Hypotenuse a.

In beiden Teildreiecken ist die Höhe $h_c$ eine gemeinsame Kathete. Damit haben wir genau das, was wir brauchen: zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen Sinus und Kosinus gelten.

Für unser Beispieldreieck:

$$\text{Links }AFC:\text{Hypotenuse }b\approx 7,2,\text{Kathete }{h}_c\approx 6,7$$ $$\text{Rechts }BFC:\text{Hypotenuse }a\approx 8,1,\text{Kathete }{h}_c\approx 6,7$$

Die Höhe hat nebenbei noch etwas zerschnitten: die Grundseite c. Das Stück bei $A$ heißt p, das Stück bei $B$ heißt q. Genau diese beiden Stücke braucht der Kosinussatz im nächsten Schritt — und sie lassen sich als Projektionen der anderen beiden Seiten aus Seite und Winkel ausdrücken. Im rechten Teildreieck $BFC$ ist q die Ankathete zum Winkel β:

$$\cos \beta =\frac{q}{a}⟺q=a\cdot \cos \beta$$

Symmetrisch im linken Teildreieck $AFC$ ist p die Ankathete zum Winkel α:

$$p=b\cdot \cos \alpha$$

Beide Strecken zusammen ergeben die Grundseite: $p+q=c$. Für unser Dreieck:

$$q=8,1\cdot \cos 56°\approx 8,1\cdot 0,559\approx 4,5$$ $$p=7,2\cdot \cos 70°\approx 7,2\cdot 0,342\approx 2,5$$ $$p+q\approx 2,5+4,5=7,0=c✓$$

Wir nehmen die Bausteine aus den letzten Schritten und kombinieren sie über den Satz des Pythagoras im linken Teildreieck $AFC$:

$$b^2=p^2+h_c^2$$

Wir kennen schon $p=c-q$ und aus dem rechten Teildreieck (Pythagoras) $h_c^2=a^2-q^2$. Einsetzen und ausmultiplizieren — mit der zweiten binomischen Formel $(c-q{)}^2=c^2-2cq+q^2$; danach heben sich $+q^2$ und $-q^2$ auf:

$$\begin{array}{rl}{b}^2& =(c-q{)}^2+a^2-q^2\\ & =c^2-2cq+q^2+a^2-q^2\\ & =c^2-2cq+a^2\end{array}$$

Jetzt noch $q=a\cdot \cos \beta$ einsetzen:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$$

Das ist der Kosinussatz — eine Pythagoras-artige Beziehung mit einem Korrekturterm. Für unser Dreieck:

$$b^2\approx 8,1^2+7^2-2\cdot 8,1\cdot 7\cdot \cos 56°$$ $$b^2\approx 65,61+49-113,4\cdot 0,559\approx 51,2$$ $$b\approx \sqrt{51,2}\approx 7,2✓$$

Die Herleitung im letzten Schritt nutzt nur, dass einer der Eckpunkte die Spitze ist und die anderen beiden die Grundseite bilden. Welcher Punkt diese Rolle spielt, ist Konvention — durch zyklisches Vertauschen der Bezeichnungen erhalten wir alle drei Formen:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$$

Welche Form du wählst, hängt davon ab, welcher Winkel und welche zwei anliegenden Seiten du kennst — links steht immer das Quadrat der Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt.

Spezialfall $\gamma =90°$: dann ist $\cos \gamma =0$, der Korrekturterm verschwindet, und die letzte Form wird zu:

$$c^2=a^2+b^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz enthält ihn also als Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks — und liefert für jeden anderen Winkel den passenden Korrekturterm.

Probe mit dem 3-4-5-Dreieck (rechtwinklig bei $C$, also $\gamma =90°$, $a=4$, $b=3$, $c=5$):

$$\begin{array}{rl}{5}^2& \stackrel{?}{=}{4}^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \cos 90°\\ & =16+9-0=25✓\end{array}$$

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt (SWS, „Seite-Winkel-Seite"), liefert der Kosinussatz direkt die dritte Seite.

Beispiel: Gegeben $a=6$, $b=4$, $\gamma =60°$. Gesucht: c.

Mit der Form, die $\gamma$ enthält:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma =36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos 60°$$

Mit $\cos 60°=0,5$:

$$c^2=52-48\cdot 0,5=52-24=28$$ $$c=\sqrt{28}\approx 5,29$$

Ein Winkel aus drei Seiten — eindeutig

Nach dem Winkel umgestellt lautet der Kosinussatz

$$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

und ${\cos }^{-1}$ liefert den Winkel. Mit $a=5$, $b=7$, $c=10$: $\cos \gamma =(25+49-100)/70\approx -0,371$, also $\gamma \approx 111,8°$. Dieser Winkel ist eindeutig: ${\cos }^{-1}$ gibt Winkel zwischen $0°$ und $180°$ aus, und dort gehört zu jedem Kosinuswert genau ein Winkel — ein negativer Kosinus heißt stumpf. Beim Sinus ist das anders: $\sin 30°=\sin 150°$, und ${\sin }^{-1}$ zeigt nur den spitzen der beiden. Deshalb gilt, wenn alle drei Seiten gegeben sind: den größten Winkel zuerst mit dem Kosinussatz. Er liegt der längsten Seite gegenüber und ist als einziger vielleicht stumpf; die beiden übrigen sind dann sicher spitz.

Sind alle drei Seiten bekannt (SSS), liefert der Kosinussatz nach Umstellung jeden Innenwinkel.

Beispiel: Gegeben $a=7$, $b=5$, $c=8$. Gesucht: γ.

Aus $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$ nach $\cos \gamma$ auflösen:

$$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}\approx 0,143$$

$$\gamma ={\cos }^{-1}(0,143)\approx 81,8°$$

Hier ist nichts mehrdeutig: ${\cos }^{-1}$ liefert genau einen Winkel zwischen $0°$ und $180°$, und drei Seiten bestimmen das Dreieck ohnehin eindeutig.

Im rechten Teildreieck $BFC$ ist a die Hypotenuse und $h_c$ die Gegenkathete zum Winkel β. Damit gilt das übliche Sinus-Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck:

$$\sin \beta =\frac{h_c}{a}⟺h_c=a\cdot \sin \beta$$

Mit $a\approx 8,1$ und $\beta \approx 56°$ folgt:

$$h_c=8,1\cdot \sin 56°\approx 8,1\cdot 0,829\approx 6,7$$

Das ist die Höhe vom Anfang, $h_c\approx 6,7$ — jetzt aber aus einer Seite und einem Winkel berechnet, nicht gemessen.

Dieselbe Überlegung im linken Teildreieck $AFC$: jetzt ist b die Hypotenuse und $h_c$ die Gegenkathete zum Winkel α.

$$\sin \alpha =\frac{h_c}{b}⟺h_c=b\cdot \sin \alpha$$

Mit $b\approx 7,2$ und $\alpha \approx 70°$:

$$h_c=7,2\cdot \sin 70°\approx 7,2\cdot 0,940\approx 6,8$$

Beide Teildreiecke teilen sich dieselbe Höhe — also liefern beide Formeln denselben Wert $h_c\approx 6,7$ (die kleine Abweichung kommt vom Runden: genau sind $b\approx 7,15$ und $\alpha \approx 69,5°$).

Beide Darstellungen der Höhe sind derselbe Wert — nämlich die einzige Strecke $h_c$. Gleichsetzen ergibt also:

$$a\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \alpha$$

Beide Seiten durch $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ teilen:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$$

Das ist die erste Form des Sinussatzes: Seite und Sinus des gegenüberliegenden Winkels stehen im gleichen Verhältnis. Für unser Dreieck:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{8,1}{\sin 70°}\approx \frac{8,1}{0,940}\approx 8,62$$ $$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{7,2}{\sin 56°}\approx \frac{7,2}{0,829}\approx 8,68$$

Beide Werte stimmen überein (die kleine Differenz kommt nur vom Runden der Seiten und Winkel).

Wir können dieselbe Herleitung mit einer anderen Höhe wiederholen. Fällen wir das Lot von A auf die gegenüberliegende Seite a, entsteht die Höhe $h_a$. Mit derselben Sinus-Überlegung in den neuen Teildreiecken folgt:

$$b\cdot \sin \gamma =c\cdot \sin \beta ⟺\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$$

Damit haben wir das dritte Verhältnis. Zusammen mit der ersten Form ergibt das den vollständigen Sinussatz:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$$

Für unser Dreieck:

$$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{7,0}{\sin 54°}\approx \frac{7,0}{0,809}\approx 8,65$$

Alle drei Quotienten liefern denselben Wert $\approx 8,6$ — geometrisch ist das übrigens der Durchmesser $2R$ des Umkreises.

Sind zwei Winkel und die dazwischen liegende Seite bekannt (Kürzel WSW), liefert der Sinussatz direkt jede fehlende Seite.

Beispiel: Gegeben $\alpha =60°$, $\beta =70°$, $c=7$. Gesucht: a.

Zuerst den dritten Winkel ergänzen:

$$\gamma =180°-60°-70°=50°$$

Dann mit dem Sinussatz $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$:

$$a=\frac{c\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }=\frac{7\cdot \sin 60°}{\sin 50°}\approx \frac{7\cdot 0,866}{0,766}\approx 7,91$$

Zwei Seiten und ein Gegenwinkel (SSW)

Sind zwei Seiten und der Winkel gegenüber einer von ihnen gegeben — etwa $a$, $b$ und $\alpha$ —, liefert der Sinussatz zuerst einen Winkel:

$$\sin \beta =\frac{b\cdot \sin \alpha }{a}$$

Mit $\alpha =40°$, $b=6$, $a=4,5$: $\sin \beta =6\cdot \sin 40°/4,5\approx 0,857$, und der Taschenrechner meldet ${\beta }_1\approx 59,0°$. Hier steckt die Falle dieses Falls: Den gleichen Sinus hat auch der stumpfe Winkel ${\beta }_2=180°-{\beta }_1\approx 121,0°$ — das kennst du vom Einheitskreis. Beide passen: Der Kreis um $C$ mit Radius $a$ schneidet den Schenkel von $\alpha$ zweimal.

Welche Lösung gilt, entscheidet die Winkelsumme: Mit ${\beta }_2$ muss $\alpha +{\beta }_2$ unter $180°$ bleiben — hier $40°+121°=161°$, also gibt es wirklich zwei Dreiecke. Liegt dem gegebenen Winkel die längere der beiden Seiten gegenüber ($a\ge b$), ist $\beta$ kleiner als $\alpha$ und damit spitz: dann gibt es nur ein Dreieck.

Sind eine Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel und ein zweiter Winkel bekannt (SWW: eine Seite und zwei Winkel), liefert der Sinussatz die Seite, die zum zweiten Winkel gehört.

Beispiel: Gegeben $a=5$, $\alpha =50°$, $\beta =30°$. Gesucht: b.

Aus $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$:

$$b=\frac{a\cdot \sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{5\cdot \sin 30°}{\sin 50°}$$

Mit $\sin 30°=0,5$ und $\sin 50°\approx 0,766$:

$$b\approx \frac{5\cdot 0,5}{0,766}\approx 3,26$$

Sind zwei Seiten und ein Winkel bekannt, der einer der Seiten gegenüberliegt, liefert der Sinussatz den Winkel, der zur anderen Seite gehört.

Beispiel: Gegeben $a=4$, $b=3$, $\alpha =60°$. Gesucht: β.

Aus $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$ nach $\sin \beta$ auflösen:

$$\sin \beta =\frac{b\cdot \sin \alpha }{a}=\frac{3\cdot \sin 60°}{4}=\frac{3\cdot 0,866}{4}\approx 0,6495$$

$$\beta ={\sin }^{-1}(0,6495)\approx 40,5°$$

Achtung Mehrdeutigkeit: zu jedem Sinuswert gehören zwei mögliche Winkel — $\beta$ und $180°-\beta$. Welcher gilt, muss die Geometrie zeigen (in diesem Beispiel passt nur der spitze Winkel, denn sonst wäre $\alpha +\beta >180°$).

Den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du längst: $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ — Grundseite mal Höhe, halbiert. Der Haken im allgemeinen Dreieck ist, dass die Höhe dort fast nie gegeben ist. Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel dazwischen.

So eine Höhe haben wir für den Sinussatz schon zweimal gebaut. Fällt man das Lot von $A$ auf die Seite a, liegt $h_a$ im rechtwinkligen Teildreieck der Seite b gegenüber vom Winkel $\gamma$:

$$\sin \gamma =\frac{h_a}{b}⟺h_a=b\cdot \sin \gamma$$

Das setzen wir in die alte Formel ein — die Grundseite ist $a$, die Höhe darauf ist $h_a$:

$$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$$

Mehr steckt nicht dahinter. Die Formel misst keine Höhe mehr — sie rechnet sie aus dem Winkel aus.

Welcher Winkel? Immer der, der zwischen den beiden Seiten liegt, die du multiplizierst. Zu $a$ und $b$ gehört $\gamma$, zu $b$ und $c$ gehört $\alpha$, zu $a$ und $c$ gehört $\beta$:

$$A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma =\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ac\sin \beta$$

Beispiel: $a=8\text{cm}$, $b=6\text{cm}$, $\gamma =30°$. Mit $\sin 30°=0,5$:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot 0,5=12{\text{cm}}^2$$

Zwischenschritt zum Mitdenken: die Höhe ist hier $h_a=6\cdot 0,5=3\text{cm}$, und $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3$ ist dasselbe $12{\text{cm}}^2$.

Zwei Fehler, die diese Formel erzeugt. Der erste: den falschen Winkel einsetzen. $\sin \alpha$ statt $\sin \gamma$ gibt eine Zahl, die genauso plausibel aussieht — sie gehört nur zu einem anderen Seitenpaar. Prüfe vor dem Rechnen, ob dein Winkel wirklich zwischen deinen beiden Seiten liegt. Der zweite: das $\frac{1}{2}$ vergessen. Dann bekommst du den Flächeninhalt des Parallelogramms aus denselben beiden Seiten — genau doppelt so viel.

Auch für stumpfe Winkel. Schiebe $\gamma$ über $90°$: der Höhenfußpunkt $F$ wandert aus der Seite $a$ heraus, die Höhe steht jetzt außerhalb des Dreiecks. Die Formel merkt davon nichts, denn $\sin 130°=\sin 50°$ — genau der Supplementwinkel-Zusammenhang vom Einheitskreis. Bei $\gamma =90°$ ist $\sin \gamma =1$, und die Formel wird wieder zur gewohnten $\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ der beiden Katheten.