Mathematik am Gymnasium
▦ AbdeckungDie Mathematik des bayerischen Gymnasiums von der 5. bis zur 13. Jahrgangsstufe, und darunter die Grundschule (Jahrgangsstufe 1/2 und 3/4): fünf Linien (Geometrie, Zahlen, Terme und Gleichungen, Funktionen, Daten und Zufall) über sieben Zonen von Klasse 1/2 bis Klasse 12/13, ein Kurs pro Lernbereich des LehrplanPLUS. Jeder Kurs öffnet mit seinem Lesetext, dessen Abschnitte die Stationen sind — man liest sie der Reihe nach wie die Kapitel eines Buchs und übt an jeder, was sie zeigt.
Mathematik
Klasse 1/2
- Formen und Lage 2 Themen ›
- Lage, Wege und Formen Lagebeziehungen mit links/rechts, neben, zwischen, oben/unten, vor/hinter beschreiben, auch aus der Sicht eines Gegenübers, Wege beschreiben und in der Vorstellung gehen, Ansichten von vorne und von oben einnehmen, Flächen- und Körperformen benennen und nach Ecken, Kanten und Flächen beschreiben, Quadrate als besondere Rechtecke und Würfel als besondere Quader bestimmen. LehrplanPLUS M1/2 2.1, 2.2 · Lesetext
- Wo ist es? Lagewörter, links und rechts
- Pfeilwege im Gitter
- Von vorne, von oben, von gegenüber
- Dreieck, Viereck, Kreis
- Kugel, Würfel, Quader und Co.
- Ecken, Kanten, Flächen zählen
- Symmetrie, Muster und Flächen Achsensymmetrische Figuren durch Falten und mit dem Spiegel überprüfen, Symmetrieachsen finden und einfache Figuren im Gitternetz symmetrisch ergänzen; Gesetzmäßigkeiten in geometrischen Mustern beschreiben und fortsetzen; Flächeninhalte durch Auslegen mit Einheitsflächen oder Zerlegen vergleichen und Umfänge durch Nachlegen oder Nachzeichnen am Gitternetz vergleichen. LehrplanPLUS M1/2 2.3–2.5 · Lesetext
- Symmetrisch oder nicht?
- Die Spiegelachse finden
- Symmetrisch ergänzen
- Muster fortsetzen
- Plus und Minus 41 Themen › Addition im Zahlenraum bis 10Subtraktion im Zahlenraum bis 10Über den Zehner rechnenÜber den Zehner bis 100Plus verstehen — dazu und zusammenMengen sehen im ZwanzigerfeldDie Kraft der FünfPlus 1, plus 2Verliebte Zahlen — Zerlegen bis 10Verliebte ZahlenVerdoppelnPlus 10Tausch- und UmkehraufgabenNachbaraufgabenDer Neuner-TrickÜber den ZehnerAddition im Zahlenraum bis 20Minus verstehen — weg und UnterschiedDie Kraft der Fünf rückwärtsMinus 1, minus 2Von 10 wegHalbierenMinus 10, bis 10Nachbaraufgaben + 17 weitere ›
- Zahlen bis 100 11 Themen ›
- Zahlen bis 20 Mengen bis 20 vergleichen, flexibel zählen, Anzahlen über die 5er- und 10er-Struktur schnell erfassen, Zahlen am Zahlenstrahl ordnen, mit größer, kleiner, gleich und den Zeichen <, > und = vergleichen und Zahlen additiv zerlegen. LehrplanPLUS M1/2 1.1 · Lesetext
- Wer hat mehr? Mengen vergleichen
- Zählen, weiterzählen, rückwärts zählen
- Auf einen Blick – Fünfer und Zehner
- Zahlen ordnen am Zahlenstrahl
- Größer, kleiner, gleich – die Zeichen <, > und =
- Zahlen zerlegen – das Zahlenhaus
- Zahlen bis 100 ordnen und Muster Anzahlen bis 100 durch Bündeln bestimmen und schätzen, sich am Hunderterfeld und am Zahlenstrahl orientieren, gerade und ungerade Zahlen begründen, Zahlenfolgen und arithmetische Muster beschreiben und fortsetzen und Platzhalteraufgaben mit dem Gleichheitszeichen als „gleich viel“ lösen. LehrplanPLUS M1/2 1.1, 1.2 · Lesetext
- Bündeln und schätzen
- Hunderterfeld und Zahlenstrahl
- Gerade und ungerade
- Zahlenfolgen fortsetzen
Klasse 3/4
- Körper und Spiegeln 2 Themen ›
- Würfelgebäude, Netze und Rauminhalt Zwischen Würfelgebäuden und ihren Bauplänen und Ansichten Beziehungen herstellen, nach Vorlage bauen und einfache Baupläne erstellen, Netze in der Vorstellung falten, Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Würfeln und anderen Quadern an Kanten- und Flächenmodellen beschreiben, den rechten Winkel am Quader erkennen, Netze von Würfeln und Quadern erstellen und deckungsgleiche Netze erkennen, den Zusammenhang zwischen Netz und Körper begründen und Rauminhalte durch Bauen und Auszählen von Einheitswürfeln vergleichen. LehrplanPLUS M3/4 2.1, 2.2, 2.5 · Lesetext
- Würfelgebäude und Baupläne
- Ansichten von vorne, oben und rechts
- Würfel, Quader und Prisma vergleichen
- Würfelnetze falten
- Netze von Quader und Prisma
- Rauminhalt mit Einheitswürfeln
- Zeichnen, Spiegeln und Muster Den Begriff rechter Winkel bei Flächen- und Körperformen verwenden; Strecken und Flächenformen mit Lineal, Geodreieck und Zirkel zeichnen und dabei ihre Eigenschaften berücksichtigen; Merkmale achsensymmetrischer Figuren mit den Fachbegriffen Symmetrieachse, deckungsgleich und achsensymmetrisch beschreiben und Spiegelbilder zeichnen; ebene Figuren im Gitternetz vergrößern und verkleinern (z. B. 2 : 1); Gesetzmäßigkeiten in Bandornamenten und Parkettierungen erklären und fortsetzen. LehrplanPLUS M3/4 2.2–2.4 · Lesetext
- Der rechte Winkel
- Senkrecht und parallel
- Rechteck und Quadrat zeichnen
- Kreise mit dem Zirkel
- Einmaleins und Geteilt 37 Themen › Stellenwert bis 1000Bündeln bis 1000 — zehn Zehner werden ein HunderterDie Null als Platzhalter — 307 ist nicht 37„100 Aufgaben auswendig?“ — oder doch nur ein paar Tricks?Kernaufgaben des EinmaleinsDie 1er-ReiheDie 10er-ReiheDie 5er-ReiheDie 2er-ReiheRechen-Blitz · Einmaleins-KernaufgabenDie 3er-ReiheDie 4er-ReiheDie 6er-ReiheDie 8er-ReiheDie 9er-ReiheDie 7er-ReiheWeiteres Einmaleins und QuadratzahlenDas ganze Einmaleins gemischtGerecht verteilenUmkehraufgaben — von Mal zu GeteiltGeteilt verstehen — Aufteilen, Verteilen, EnthaltenseinGeteilt-Kernaufgaben — halbieren, durch 5, durch 10Geteilt ableiten — Nachbaraufgabe und ZerlegenGeteilt durch 2 + 13 weitere ›
- Große Zahlen 17 Themen ›
- Zahlen bis zur Million Sich im Zahlenraum bis zur Million orientieren: bündeln und entbündeln, Zahlen in der Stellenwerttafel darstellen, lesen und schreiben, am Zahlenstrahl ordnen und vergleichen, runden sowie Anzahlen mit Stützpunkten schätzen (auch Fermi-Aufgaben). LehrplanPLUS M3/4 1.1 · Lesetext
- Immer zehn: Bündeln bis zur Million
- Die Stellenwerttafel bis zur Million
- Große Zahlen lesen und schreiben
- Am Zahlenstrahl: Ausschnitte lesen und vergleichen
- Runden: Was ist ungefähr?
- Stützpunkte und Schätzen
- Bündeln bis 1000 — zehn Zehner werden ein Hunderter
- Die Null als Platzhalter — 307 ist nicht 37
- Vergleichen und Ordnen — die höchste Stelle entscheidet
- Stellenwert bis 1000
- Addition im Zahlenraum bis 1000
- Größen und Sachaufgaben 8 Themen ›
- Größen umrechnen Gewichte (g, kg), Hohlmaße (ml, l) und Längen (mm, cm, m, km) mit Bezugsgrößen vorstellen, messen und ablesen, Einheiten zerlegen und umwandeln, Ergebnisse bei Euro und Cent sowie Meter und Zentimeter mit Komma notieren, einfache Bruchzahlen bei Größen nutzen (½ l = 500 ml, eine Viertelstunde = 15 min) und Größen mit Bezugsgrößen schätzen und begründen. LehrplanPLUS M3/4 3.1, 3.2 · Lesetext
- Gramm und Kilogramm
- Liter und Milliliter
- Millimeter und Kilometer
- Die Einheitentreppe
- Die Kommaschreibweise bei Geld und Längen
- Halbe, Viertel, Dreiviertel
- Schätzen und prüfen
- Zeitspannen, Fahrpläne und Maßstab Zeitspannen sowie Anfangs- und Endzeitpunkte berechnen und dabei die Besonderheit des Größenbereichs beachten (1 h hat 60 min, 1 min hat 60 s, 1 Tag hat 24 h), Ergebnisse auch in gemischter Schreibweise notieren; Daten aus Fahrplänen entnehmen und Fahrtzeiten erschließen, die nicht direkt ablesbar sind; Skizzen und Lagepläne erstellen und zur Orientierung nutzen; den Zusammenhang zwischen Längen in der Wirklichkeit und in Lageplänen mit grundlegenden Vorstellungen vom maßstäblichen Verkleinern beschreiben. LehrplanPLUS M3/4 2.1, 3.1–3.3, 4.1 · Lesetext
- Sekunden, Minuten, Stunden
- Zeitspannen am Zeitstrahl
- Fahrpläne lesen
- Daten und Gewinnchancen 2 Themen ›
- Daten und Zufall Daten aus der eigenen Lebenswirklichkeit sammeln und in Strichlisten, Tabellen und einfachen Schaubildern strukturiert darstellen; Daten aus Tabellen, Bild- und Säulendiagrammen entnehmen, vergleichen und Fragen dazu beantworten; einfache Zufallsexperimente mit Würfel, Glücksrad und Säckchen durchführen, mit sicher, möglich und unmöglich beschreiben und Chancen vergleichen (gleich viele Kugeln, mehr rote: Rot ist wahrscheinlicher). LehrplanPLUS M1/2 4.1, 4.2 · Lesetext
- Strichlisten führen
- Tabellen lesen
- Bild- und Säulendiagramme lesen
- Ein Säulendiagramm zeichnen
- Sicher, möglich, unmöglich
- Was ist wahrscheinlicher?
- Diagramme und Gewinnchancen Daten aus der Lebenswirklichkeit und aus Quellen wie Preislisten, Fahrplänen und Tabellen sammeln, entnehmen und vergleichen, in umfangreicheren Tabellen und Diagrammen strukturiert darstellen und auch nicht direkt ablesbare Daten erschließen; zu einfachen Zufallsexperimenten Gewinnchancen einschätzen und vergleichen, die Bedingungen systematisch variieren und Vorhersagen handelnd überprüfen. LehrplanPLUS M3/4 4.1, 4.2 · Lesetext
- Große Diagramme lesen
- Ein Diagramm zeichnen, die Achse wählen
- Preislisten, Tabellen und Fahrpläne
- Gewinnchancen vergleichen
Klasse 5/6
- Figuren und Flächen 7 Themen ›
- Geometrische Figuren und Lagebeziehungen Die Schülerinnen und Schüler stellen Punkte, Geraden und Kreise im Koordinatensystem dar, beschreiben Lagebeziehungen mit Abstand, Lot, parallel, senkrecht und Tangente, bestimmen Punkte mit Abstandsbedingungen, messen und zeichnen Winkel bis 360° und ordnen die besonderen Vierecke nach ihren Seiteneigenschaften. LehrplanPLUS M5 2 · Lesetext
- Punkte im Koordinatensystem
- Strecke, Strahl, Gerade
- Parallel, senkrecht, Abstand
- Der Kreis
- Punkte mit Abstand
- Lagen am Kreis
- Winkel messen und zeichnen
- Die besonderen Vierecke
- Größen und ihre Einheiten Größen (Geld, Länge, Masse, Zeit) messen, in andere Einheiten umrechnen, verrechnen und schätzen sowie mit Verhältnistabelle, Dreisatz und Maßstab Sachaufgaben lösen. LehrplanPLUS M5 4.1 · Lesetext
- Messen heißt vergleichen
- Längen und Kommaschreibweise
- Ganze Zahlen 6 Themen ›
- Das ganze Einmaleins gemischt
- Große Zahlen und ganze Zahlen Die Schülerinnen und Schüler lesen und schreiben Zahlen über eine Million, verstehen das Zehnersystem als Stellenwertsystem, lesen den Zahlenstrahl ab und wählen eine geeignete Skalierung, runden im Sachzusammenhang sinnvoll, erweitern die natürlichen zu den ganzen Zahlen, ordnen sie und veranschaulichen Betrag und Gegenzahl und widerlegen Aussagen mit Gegenbeispielen. LehrplanPLUS M5 1.1 · Lesetext
- Große Zahlen lesen
- Zehnersystem und römische Zahlen
- Zahlenstrahl und Skala
- Runden im Sachzusammenhang
- Negative Zahlen
- Ordnen, Betrag und Gegenzahl
- Aussagen prüfen und widerlegen
- Ganze Zahlen addieren und subtrahieren Die Schülerinnen und Schüler rechnen schriftlich und im Kopf mit ganzen Zahlen, unterscheiden Vor- und Rechenzeichen, lösen Gleichungen a + x = b, x − a = b und a − x = b mit Umkehraufgabe und Probe, nutzen Rechengesetze und gliedern Terme mit Klammern in fortlaufender Rechnung. LehrplanPLUS M5 1.2 · Lesetext
- Große Zahlen schriftlich
- Guthaben und Schulden
- Im Kopf: Quadrate, Primzahlen, ganze Zahlen 19 Themen ›
- Quadratzahlen bis 400 Die Schülerinnen und Schüler verfügen über ein automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400: Sie deuten n² als Fläche des n-mal-n-Quadrats, leiten Quadrate über zehn durch Zerlegen am Quadrat und vom Nachbarquadrat aus ab, erkennen Quadratzahlen an ihrer Endziffer und rufen alle zwanzig Quadrate sicher und schnell ab. LehrplanPLUS M5 3.1 · Lesetext
- n² ist ein Quadrat aus n mal n
- Die Quadratzahlen bis 10² = 100
- Zerlegen am Quadrat — 13² = 100 + 30 + 30 + 9
- Die Quadratzahlen von 11² bis 15²
- Nachbarquadrate — von 15² zu 16² und von 20² zu 19²
- Die Quadratzahlen von 16² bis 20²
- Quadratzahlen erkennen und rückwärts finden
- Alle Quadratzahlen bis 20² gemischt
- Plus über die Null
- Plus mit negativem Start
- Plus mit ganzen Zahlen gemischt
- Brüche verstehen 16 Themen › Anteil am GanzenEin Bruch ist ein Anteil am GanzenEin Ganzes und mehr als ein GanzesErweitern und KürzenBrüche vergleichenGrößerer Nenner — kleinerer BruchGleicher Zähler, verschiedener NennerGleichnamige BrücheGleichnamige Brüche — nur die Zähler zählenDie Falle — warum 1/2 + 1/3 nicht 2/5 istZahl mal BruchBrüche multiplizierenMal heißt „von" — der Anteil vom AnteilGleichnamig machen — der gemeinsame NennerDer HauptnennerUngleichnamige Brüche
- Mehr Bruchrechnen 9 Themen ›
- Bruch und Dezimalzahl 6 Themen ›
- Rationale Zahlen 6 Themen ›
- Bruchteile und Bruchzahlen Die Schülerinnen und Schüler deuten und veranschaulichen Anteile, bestimmen Bruchteil und Ganzes, erweitern, kürzen und vergleichen Brüche (auch mit dem Hauptnenner), nutzen Prozentangaben als Brüche und ordnen positive und negative Bruchzahlen an der Zahlengeraden im Zusammenhang der Zahlbereiche ℕ, ℤ und ℚ. LehrplanPLUS M6 1.1 · Lesetext
- Anteil am Ganzen
- Ein Ganzes und mehr als ein Ganzes
- Bruchteil und Ganzes
- Erweitern und Kürzen
- Brüche vergleichen
- Der Hauptnenner
- Prozent als Bruch
- Brüche auf der Zahlengeraden
- Von ℕ über ℤ zu ℚ
- Dezimalbrüche Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Erweiterung der Stellenwerttafel um Zehntel, Hundertstel und Tausendstel, vergleichen und runden Dezimalbrüche, deuten Brüche als Teile mehrerer Ganzer und als Quotienten, wandeln Brüche in Dezimalbrüche und endliche sowie rein periodische Dezimalbrüche der Periodenlänge eins in Brüche um, entscheiden anhand der Primfaktoren des gekürzten Nenners, ob ein Bruch endlich oder periodisch ist, und gehen mit der Rechneranzeige reflektiert um. LehrplanPLUS M6 1.2 · Lesetext
- Stellenwerte rechts vom Komma
- Zuordnungen und Prozent 7 Themen ›
- Verhältnisse lesen und schreiben — a : b
- Verhältnisse kürzen und erweitern
- Im Verhältnis aufteilen
- Proportionalität und umgekehrte Proportionalität
- Direkte und indirekte Proportionalität
- Verhältnistabelle und Dreisatz
- Prozentrechnung Die Schülerinnen und Schüler lösen einfache Prozentaufgaben aus dem Alltag (Rabatt, Zins) mit Grundgleichung und Schlussrechnung und prüfen Prozentangaben in Texten, auch mit Prozentpunkten und Wendungen wie „jeder Siebte“. LehrplanPLUS M6 3 · Lesetext
- Prozent auf dem Hundertfeld
- Prozent wovon? Der Grundwert
- Prozentwert berechnen
- Prozentsatz und Grundwert gesucht
- Rabatt und Zins
Klasse 7/8
- Konstruieren und Begründen 9 Themen ›
- Symmetrie und Grundkonstruktionen Achsen- und punktsymmetrische Figuren konstruieren und begründen, Mittelsenkrechte, Lote und Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruieren, Abstandsprobleme mit Ortslinien modellieren und die symmetrischen Vierecke ordnen LehrplanPLUS M7 2.1 · Lesetext
- Achsensymmetrie und Spiegelpunkt
- Symmetrieachse und Mittelsenkrechte
- Punktsymmetrie
- Mittelsenkrechte und Lot
- Die Winkelhalbierende
- Ortslinien und Abstandsprobleme
- Das Haus der Vierecke
- Winkel an Geraden und Figuren Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Winkelzusammenhänge an Geradenkreuzungen und Doppelkreuzungen, beweisen die Innenwinkelsumme im Dreieck mit einer Hilfslinie, schließen auf das Vieleck, bestimmen Winkel in Figuren mit mehrfachen Kreuzungen, prüfen Parallelität und begründen jeden Lösungsschritt. LehrplanPLUS M7 2.2 · Lesetext
- Scheitel- und Nebenwinkel
- Stufen- und Wechselwinkel
- Winkelsumme im Dreieck
- Terme 4 Themen ›
- Derselbe Anteil als Dezimalzahl
- Terme aufstellen und deuten Terme mit Variablen aus Text, Muster und Zusammenhang aufstellen, in Situationen deuten, ihre Werte berechnen und ihre Struktur mit Fachbegriffen beschreiben. LehrplanPLUS M7 1.1 · Lesetext
- Die Variable
- Vom Text zum Term
- Terme aus Mustern
- Terme deuten
- Termwerte und Wertetabellen
- Termstruktur und Fachbegriffe
- Terme umformen Terme mit Rechenregeln und Potenzgesetzen zielgerichtet umformen (zusammenfassen, ausmultiplizieren, ausklammern), Umformungen mit Flächenmodell und Probe begründen und Rechenwege erläutern. LehrplanPLUS M7 1.2 · Lesetext
- Gleichartige Terme
- Produkte und Potenzen
- Ausmultiplizieren
- Gleichungen 4 Themen ›
- Lineare Gleichungen und Prozent Die Lernenden stellen lineare Gleichungen auf, lösen sie durch Äquivalenzumformungen mit Probe, deuten Lösungen im Sachzusammenhang und lösen Prozentaufgaben mit Grundgleichung und Faktor, auch beim Prüfen von Prozentaussagen. LehrplanPLUS M7 3 · Lesetext
- Gleichungen im Gleichgewicht
- Äquivalenzumformungen und Probe
- Variable auf beiden Seiten
- Klammern und Zusammenfassen
- Gleichungen aus Texten aufstellen
- Die Lösung deuten
- Prozentaufgaben als Gleichung
- Vermehrter und verminderter Grundwert
- Prozentaussagen prüfen
- Gleichungen im Gleichgewicht — Äquivalenzumformungen verstehen
- Bruchterme und Bruchgleichungen Die Lernenden erfassen die Struktur von Bruchtermen, kürzen, erweitern, addieren, multiplizieren und dividieren sie, lösen Bruchgleichungen mit Definitionsmenge und Prüfung auf Scheinlösungen, deuten sie als Schnittprobleme und lösen Formeln nach einer Variablen auf. LehrplanPLUS M8 4 · Lesetext
- Funktionen und Geraden 5 Themen ›
- Funktion und Term Die Schülerinnen und Schüler beschreiben funktionale Zusammenhänge mit Tabelle, Graph und Term, erkennen Funktionen als eindeutige Zuordnungen und bestimmen Achsenschnittpunkte sowie die Lage von Punkten zum Graphen. LehrplanPLUS M8 1 · Lesetext
- Zuordnungen darstellen
- Eindeutige Zuordnungen
- Funktionsterm und Funktionswert
- Definitions- und Wertemenge
- Änderung des Funktionswerts
- Schnittpunkte mit den Achsen
- Punkt und Graph
- Funktionales Denken — Zuordnung und Kovariation
- Lineare Funktionen Die Schülerinnen und Schüler deuten y = m · x + t, zeichnen und lesen Geraden, stellen Geradengleichungen auf, bestimmen Nullstelle und Schnittpunkt, lösen lineare Ungleichungen und nutzen lineare Funktionen in Sachzusammenhängen. LehrplanPLUS M8 2 · Lesetext
- Die Ursprungsgerade
- Steigung als Änderungsrate
- Daten und Zufall 5 Themen ›
- Daten und Diagramme Die Schülerinnen und Schüler bestimmen absolute und relative Häufigkeiten, lesen, zeichnen und wählen Säulen- und Kreisdiagramme, erkennen manipulative Darstellungen und deuten das arithmetische Mittel. LehrplanPLUS M6 3 · Lesetext
- Absolute Häufigkeit
- Relative Häufigkeit
- Diagramme lesen
- Säulendiagramm zeichnen
- Kreisdiagramm zeichnen
- Säule oder Kreis?
- Achsen prüfen
- Bilder und Bezugsgrößen
- Das arithmetische Mittel
- Kenngrößen von Daten Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Median, Spannweite und Quartile, zeichnen und lesen Boxplots und beurteilen vergleichende Aussagen über Datensätze. LehrplanPLUS M7 4 · Lesetext
- Der Median
Klasse 9/10
- Ähnlichkeit und Pythagoras 4 Themen ›
- Ähnlichkeit und Strahlensatz Die Schülerinnen und Schüler prüfen Ähnlichkeit bei Figuren und Dreiecken, wenden die Strahlensätze in innermathematischen Aufgaben und Sachsituationen an und beschreiben, wie sich Flächeninhalt und Volumen bei maßstäblicher Vergrößerung ändern. LehrplanPLUS M9 4 · Lesetext
- Ähnliche Figuren
- Die zentrische Streckung
- Der erste Strahlensatz
- Der zweite Strahlensatz
- Strahlensätze in Sachsituationen
- Länge, Fläche, Volumen
- Der Satz des Pythagoras Die Schülerinnen und Schüler beweisen den Satz des Pythagoras, unterscheiden ihn von seiner Umkehrung und lösen mit ihm Berechnungs- und Sachaufgaben an rechtwinkligen Dreiecken, im Koordinatensystem und im Quader. LehrplanPLUS M9 6 · Lesetext
- Der Flächensatz
- Ein Beweis durch Zerlegen
- Die Hypotenuse berechnen
- Eine Kathete berechnen
- Trigonometrie 6 Themen ›
- Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Den Lesetext zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck durcharbeiten — von der Ähnlichkeit über Sinus, Kosinus und Tangens bis zu den Berechnungen, die alle drei verlangen LehrplanPLUS M9 7.1 · Lesetext
- Ähnliche Dreiecke und Seitenverhältnisse Erkennen, dass ähnliche rechtwinklige Dreiecke konstante Seitenverhältnisse besitzen, die nur vom spitzen Winkel abhängen LehrplanPLUS M9 7.1
- Der Sinus Den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse definieren und zur Berechnung unbekannter Seiten und Winkel einsetzen LehrplanPLUS M9 7.1
- Der Kosinus Den Kosinus als Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse definieren und zur Berechnung unbekannter Seiten und Winkel einsetzen LehrplanPLUS M9 7.1
- Der Tangens Den Tangens als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete definieren und den Zusammenhang tan α = sin α / cos α begründen LehrplanPLUS M9 7.1
- Alle drei Verhältnisse zusammen Zusammenhänge sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α und die Komplementärwinkelbeziehung cos α = sin(90° − α) begründen und anwenden LehrplanPLUS M9 7.1
- Anwendungen am rechtwinkligen Dreieck Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus, Tangens identifizieren; Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durchführen; Lösungswege dokumentieren und darstellen LehrplanPLUS M9 7.1 · Anwendungen
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis Den Lesetext zum Einheitskreis durcharbeiten — Sinus und Kosinus als Koordinaten eines wandernden Punktes, mit den eingebetteten Aufgaben pro Abschnitt LehrplanPLUS M10 3 · Lesetext
- Ein Punkt auf dem Einheitskreis Winkel am Einheitskreis veranschaulichen; einen Punkt auf dem Einheitskreis durch den Winkel α zur positiven x-Achse beschreiben LehrplanPLUS M10 3 · case.math.unit-circle-trig § 1
- Sinus und Kosinus als Koordinaten Sinus- und Kosinuswerte als Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis ablesen und deuten LehrplanPLUS M10 3 · case.math.unit-circle-trig § 2
- Vorzeichen in den Quadranten Vorzeichen von Sinus und Kosinus in allen vier Quadranten sicher bestimmen LehrplanPLUS M10 3 · case.math.unit-circle-trig § 3
- Besondere Winkelwerte Exakte Sinus- und Kosinuswerte der besonderen Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90° kennen und am Einheitskreis herleiten LehrplanPLUS M10 3 · case.math.unit-circle-trig § 4
- Pyramide, Kegel, Kugel 2 Themen ›
- Pyramide und Kegel Die Schülerinnen und Schüler skizzieren Schrägbilder und Netze von Pyramide und Kegel, begründen Kegeloberfläche sowie Pyramiden- und Kegelvolumen mit Netz, Cavalieri und Grenzfall und berechnen diese Größen. LehrplanPLUS M10 5 · Lesetext
- Die Pyramide im Schrägbild
- Netz und Oberfläche
- Das Prinzip von Cavalieri
- Das Volumen der Pyramide
- Der Kegel und sein Netz
- Mantel und Oberfläche des Kegels
- Der Kegel als Grenzfall
- Das Volumen des Kegels
- Kugel und zusammengesetzte Körper Die Schülerinnen und Schüler deuten Zylinder, Kegel und Kugel als Rotationskörper, machen Volumen und Oberfläche der Kugel plausibel und lösen Sachaufgaben zu zusammengesetzten Körpern mit Pythagoras, Trigonometrie, Strahlensatz und Maßstabsfaktoren. LehrplanPLUS M10 5 · Lesetext
- Rotationskörper
- Das Volumen der Kugel
- Wurzeln und reelle Zahlen 4 Themen ›
- Quadratwurzeln und reelle Zahlen Die Schülerinnen und Schüler erläutern die Quadratwurzel, beweisen die Irrationalität von √2, kennen die reellen Zahlen, nähern Wurzeln mit dem Heron-Verfahren an und vereinfachen Wurzelterme mit den Wurzelgesetzen, durch teilweises Radizieren, Rationalmachen des Nenners und unter Verwendung von Beträgen. LehrplanPLUS M9 1 · Lesetext
- Wurzel als Quadratseite
- Wurzeln abschätzen
- Warum √2 kein Bruch ist
- Reelle Zahlen
- Das Heron-Verfahren
- Wurzelgesetze
- Teilweise radizieren, Nenner rational
- Wurzeln mit Variablen
- Zweierpotenzen bis 2¹⁰
- Zehnerpotenzen bis 10⁶
- Potenzfunktionen und Potenzen Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Verlauf und Symmetrie von a·xⁿ, lösen Gleichungen xⁿ = c mit der n-ten Wurzel, wandeln Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln ineinander um und fassen Potenz- und Wurzelterme mit den Potenzgesetzen zusammen. LehrplanPLUS M9 5 · Lesetext
- Quadratische Funktionen 2 Themen ›
- Quadratische Funktionen und Gleichungen Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Wirkung der Parameter a, d und e, bestimmen den Scheitel durch quadratische Ergänzung, lesen Eigenschaften am Graphen ab, lösen quadratische Gleichungen mit der passenden Methode und nutzen die drei Darstellungsformen situationsgerecht. LehrplanPLUS M9 2.1 · Lesetext
- Quadratisches Wachstum
- Die Parameter a, d und e
- Scheitel durch Ergänzen
- Eigenschaften am Graphen
- Welche Methode wann?
- Lösungsformel und Diskriminante
- Drei Formen, drei Fragen
- Quadratische Funktionen in Anwendungen Die Schülerinnen und Schüler lösen lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten systematisch, bestimmen quadratische Funktionen aus drei Punkten, lösen Bruchgleichungen und Schnittprobleme mit Geraden, Parabeln und Hyperbeln, modellieren Extremwertprobleme und validieren ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang. LehrplanPLUS M9 2.2 · Lesetext
- Das Gauß-Verfahren
- Die Parabel durch drei Punkte
- Bruchgleichungen mit x²
- Wachstum und Kurven 3 Themen ›
- Exponentielles Wachstum und Logarithmus Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden exponentielles von linearem Wachstum, deuten den Graphen von b · aˣ, bestimmen Werte und Gleichungen mit dem Logarithmus und modellieren Wachstums- und Zerfallsvorgänge samt ihren Modellgrenzen. LehrplanPLUS M10 1 · Lesetext
- Faktor statt Zuwachs
- Prozent und Faktor
- Der Graph von b · aˣ
- Zerfall und Halbwertszeit
- Der Logarithmus
- Exponentialgleichungen lösen
- Wachstum modellieren
- Sinus- und Kosinusfunktion Die Schülerinnen und Schüler verstehen das Bogenmaß als Länge des Bogens am Einheitskreis und rechnen sicher zwischen Bogen- und Gradmaß um, lesen Sinus- und Kosinuswerte für beliebige reelle Zahlen am Einheitskreis ab, leiten daraus die Graphen und ihre Periodizität her, beschreiben die Wirkung der Parameter in a·sin(b(x + c)) + d, ermitteln den Term aus dem Graphen und modellieren periodische Vorgänge. LehrplanPLUS M10 3 · Lesetext
- Winkel als Bogenlänge
- Grad und Bogenmaß
- Werte für reelle Zahlen
- Zufallsexperimente 3 Themen ›
- Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse Die Schülerinnen und Schüler stellen zwei verknüpfte Ereignisse mit Schnitt- und Vereinigungsmengen sowie Mengendiagrammen und Vierfeldertafeln dar, übersetzen zwischen verbaler und formaler Beschreibung, deuten relative Häufigkeiten der Tafel als Wahrscheinlichkeiten, begründen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) und bestimmen Wahrscheinlichkeiten verknüpfter Ereignisse. LehrplanPLUS M9 3 · Lesetext
- Das Mengendiagramm
- Schnittmenge — A und B
- Vereinigungsmenge — A oder B
- Doppelt gezählt — die Summenformel
- Vierfeldertafel
- Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
- Disjunkte Ereignisse
- Baumdiagramme und Simulation Die Schülerinnen und Schüler strukturieren zusammengesetzte Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, berechnen Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln und bestimmen oder prüfen Wahrscheinlichkeiten durch Simulation, auch mit Monte-Carlo-Näherung von π. LehrplanPLUS M10 2 · Lesetext
- Das Baumdiagramm
- Die Pfadregeln
- Ziehen ohne Zurücklegen
Klasse 11
- Differentialrechnung 5 Themen ›
- Von der Sekante zur Tangente Die Schülerinnen und Schüler berechnen Werte von Differenzenquotienten, deuten sie als Sekantensteigung und mittlere Änderungsrate (auch im Sachkontext), erläutern den Übergang von der Sekante zur Tangente als Grenzwert (die Regler der Abbildungen ersetzen die Mathematiksoftware), deuten f′(x₀) als Tangentensteigung und berechnen Werte von Differentialquotienten für einfache ganzrationale Funktionen. LehrplanPLUS M11 4.1 · Lesetext
- Ein Punkt auf dem Graphen
- Der Abstand Delta
- Die Sekante
- Die Sekante parametrisieren
- Differenzenquotient
- Von der Sekante zur Tangente — Der Grenzübergang
- Die Ableitungsfunktion Die Schülerinnen und Schüler deuten f′(x₀) als lokale Änderungsrate und Tangentensteigung, schließen aus dem Graphen von f auf den Graphen von f′ und begründen dies, erkennen Knick und Sprung als Stellen ohne Ableitung, leiten ganzrationale Funktionen mit Potenz-, Faktor- und Summenregel ab, stellen Tangentengleichung und Steigungswinkel auf und interpretieren Ableitungswerte im Sachkontext. LehrplanPLUS M11 4.1 · Lesetext
- Lokale Änderungsrate
- Von der Zahl zur Funktion
- Der Graph von f′
- Knick und Sprung
Klasse 12/13
- Vektoren und Raum 4 Themen ›
- Punkte und Vektoren im Raum Die Schülerinnen und Schüler stellen Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem dar, begründen besondere Lagen und Symmetrien an den Koordinaten, rechnen mit Vektoren im Raum (Verbindungsvektor, Summe, Differenz, Vielfache) und bestimmen Längen von Vektoren und Abstände von Punkten. LehrplanPLUS M12 5 · Lesetext
- Punkte im Raum
- Besondere Lagen
- Spiegelpunkte
- Vektoren als Verschiebungen
- Der Verbindungsvektor
- Summe und Differenz
- Vielfache von Vektoren
- Länge und Abstand
- Skalarprodukt und Vektorprodukt Die Schülerinnen und Schüler bestimmen mit dem Skalarprodukt Längen, Winkel und Orthogonalität, nutzen das Vektorprodukt für orthogonale Vektoren, Flächeninhalte und (mit dem Skalarprodukt) Volumina von Spat und Pyramide und lösen Aufgaben an Körpern auf mehreren Wegen. LehrplanPLUS M12 5 · Lesetext
- Das Skalarprodukt
- Winkel zwischen Vektoren
- Ableitungsregeln 5 Themen ›
- Die natürliche Exponentialfunktion Die Schülerinnen und Schüler verstehen eˣ als Funktion, deren Ableitungsterm mit dem Funktionsterm übereinstimmt, beschreiben Graph, Asymptote und Tangenten, verschieben und strecken den Graphen, lösen Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus, führen aˣ auf e^(kx) zurück und begründen, dass eˣ schneller wächst als jede Potenz. LehrplanPLUS M12 1.2 · Lesetext
- Die Zahl e
- Der Graph von eˣ
- Verschieben und Strecken
- Gleichungen mit ln
- aˣ auf eˣ zurückführen
- eˣ gegen Potenzen
- Die Grundableitungen
- Produkt- und Kettenregel Die Schülerinnen und Schüler leiten Produkte und Verkettungen mit Produkt- und Kettenregel ab, erkennen dazu die Termstruktur, differenzieren Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit ganzrationalen Termen, untersuchen sie auf Nullstellen, Grenzverhalten, Extrem- und Wendepunkte und modellieren Wachstums- und Abklingvorgänge im Sachkontext. LehrplanPLUS M12 1.2 · Lesetext
- Die Produktregel
- Produktregel anwenden
- Innere und äußere Funktion
- Umkehrfunktion und Scharen 3 Themen ›
- Umkehrfunktion und Wurzelfunktion Die Schülerinnen und Schüler schließen mit der strengen Monotonie auf die Umkehrbarkeit einer Funktion, erklären, wie die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion durch Spiegelung an y = x auseinander hervorgehen, bestimmen den Term der Umkehrfunktion in einfachen Fällen, leiten die Wurzelfunktion und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (auch mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) ab und untersuchen einfache Verknüpfungen der Wurzelfunktion mit der Differentialrechnung. LehrplanPLUS M12 4.2 · Lesetext
- Umkehrbar durch Monotonie
- Der Graph der Umkehrfunktion
- Der Term der Umkehrfunktion
- Die Wurzelfunktion
- Rationale Exponenten ableiten
- Wurzelfunktionen untersuchen
- Die natürliche Logarithmusfunktion Die Schülerinnen und Schüler verstehen ln als Umkehrfunktion von eˣ, beschreiben Graph, Definitionsmenge und Verlauf, leiten ln mithilfe der Umkehrung her (ln x)′ = 1/x, wenden die Logarithmenregeln an, untersuchen einfache Verknüpfungen mit ln auch mit der Differentialrechnung und begründen die Grenzwerte ln x / xⁿ und xⁿ · ln x. LehrplanPLUS M12 4.3 · Lesetext
- Der natürliche Logarithmus
- Der Graph von ln
- Die Ableitung von ln
- Logarithmenregeln
- Integralrechnung 3 Themen ›
- Flächeninhalt und bestimmtes Integral Die Schülerinnen und Schüler deuten das bestimmte Integral als Flächenbilanz und als Grenzwert von Ober- und Untersummen, definieren die Integralfunktion und beschreiben ihren Verlauf, begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anschaulich über schmale Streifen, berechnen Integrale mit Stammfunktionen und grenzen Integralfunktion und Stammfunktion voneinander ab. LehrplanPLUS M13 1 · Lesetext
- Ober- und Untersummen
- Flächen als Bilanz
- Das bestimmte Integral
- Die Integralfunktion
- Der Hauptsatz
- Integrale mit Stammfunktionen
- Integrale berechnen und deuten Die Schülerinnen und Schüler schließen vom Graphen einer Funktion auf den Verlauf ihrer Integralfunktion und zurück, ermitteln Stammfunktionen auch mit den Integrationsregeln für f(ax+b), f′/f und f′·e^f, berechnen Flächeninhalte zwischen Graphen sowie uneigentliche Integrale, interpretieren das Integral als Gesamtänderung einer Größe (Geschwindigkeit und Strecke) und bestimmen das Volumen von Körpern, die durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen. LehrplanPLUS M13 1 · Lesetext
- Graph der Integralfunktion
- Integrationsregeln
- Fläche zwischen Graphen
- Uneigentliche Integrale
- Stochastik 4 Themen ›
- Zufallsgrößen: von den Axiomen zum Erwartungswert Die Schülerinnen und Schüler formulieren die Axiome der Wahrscheinlichkeit und leiten Folgerungen her, beschreiben Zufallsgrößen durch Verteilung, Histogramm und kumulative Verteilung und bestimmen und interpretieren Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, auch bei der Beurteilung fairer Spiele. LehrplanPLUS M12 2 · Lesetext
- Drei Wahrscheinlichkeitsbegriffe
- Die drei Axiome
- Folgerungen aus den Axiomen
- Zufallsgröße und Verteilung
- Kumulative Verteilung
- Der Erwartungswert
- Varianz und Standardabweichung
- Faire Spiele
- Die Binomialverteilung: von der Urne zum Histogramm Die Schülerinnen und Schüler zählen Ergebnisse mit Urnenmodellen und Binomialkoeffizienten, modellieren Zufallsvorgänge als Bernoulli-Ketten, berechnen Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung einzeln und kumuliert, bestimmen Erwartungswert und Standardabweichung aus n und p und beschreiben den Einfluss der Parameter auf das Histogramm. LehrplanPLUS M12 2 · Lesetext
- Urnenmodelle
- Der Binomialkoeffizient